Dos trenes parten simultáneamente de una estación
en dirección tal que forman un ángulo de 35º. Uno
va a 15 km/h y el otro a 25 km/h. Determina a qué
distancia se encuentran separados después de dos
horas de viaje.


Para resolver este problema, podemos utilizar la Ley del Coseno, que es útil cuando conocemos dos lados de un triángulo y el ángulo entre ellos, y queremos encontrar el tercer lado.

### Pasos para resolver el problema:

1. **Identificar los datos:**
   - Velocidad del primer tren (\(v_1\)) = 15 km/h
   - Velocidad del segundo tren (\(v_2\)) = 25 km/h
   - Tiempo de viaje (\(t\)) = 2 horas
   - Ángulo entre las direcciones de los trenes (\(\theta\)) = 35º

2. **Calcular la distancia recorrida por cada tren:**
   - Distancia recorrida por el primer tren (\(d_1\)):  
     \[
     d_1 = v_1 \times t = 15 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 30 \, \text{km}
     \]
   - Distancia recorrida por el segundo tren (\(d_2\)):  
     \[
     d_2 = v_2 \times t = 25 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 50 \, \text{km}
     \]

3. **Aplicar la Ley del Coseno:**
   - La Ley del Coseno establece que en cualquier triángulo:
     \[
     c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta)
     \]
   - En este caso:
     \[
     c^2 = d_1^2 + d_2^2 - 2 \times d_1 \times d_2 \times \cos(35º)
     \]
     Sustituyendo los valores:
     \[
     c^2 = 30^2 + 50^2 - 2 \times 30 \times 50 \times \cos(35º)
     \]

4. **Calcular el valor de \(c\):**
   - Primero calculamos los cuadrados y el término de la ley del coseno:
     \[
     c^2 = 900 + 2500 - 2 \times 30 \times 50 \times \cos(35º)
     \]
   - Luego, usando \(\cos(35º) \approx 0.8192\):
     \[
     c^2 = 3400 - 2 \times 30 \times 50 \times 0.8192
     \]
     \[
     c^2 = 3400 - 2457.6 = 942.4
     \]
   - Finalmente, \(c\) es la raíz cuadrada de 942.4:
     \[
     c \approx \sqrt{942.4} \approx 30.7 \, \text{km}
     \]

### Respuesta:
Después de dos horas de viaje, los trenes estarán separados aproximadamente **30.7 km**.

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica la Ley del Coseno en otros problemas similares?
2. ¿Qué sucede si los trenes viajan a la misma velocidad?
3. ¿Cómo cambiaría la solución si el ángulo entre las rutas fuera mayor?
4. ¿Qué otras leyes trigonométricas son útiles en la resolución de triángulos?
5. ¿Cómo afecta el tiempo de viaje a la distancia final entre los trenes?

**Tip:** La Ley del Coseno es particularmente útil para resolver triángulos oblicuángulos (triángulos que no tienen un ángulo recto).

Explore how to determine the distance between two trains traveling at different speeds and angles using the Law of Cosines. This problem involves calculating distances and angles in trigonometry, applicable to high school level mathematics.

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