Ao construir um trilho para a passagem de um trem, os engenheiros se deparam com a situação apresentada a seguir:

Teriam que então, atravessar a montanha ou contorná-la. Se contornassem o desvio seria muito grande e com isso o custo se elevaria. A sugestão seria fazer um túnel reto que atravesse a montanha. Para calcular a distância de um lado a outro da montanha AB um teodolito foi posicionado no ponto C verificando um ângulo de 75° em relação aos pontos A e B. As distâncias BC e AC forram medidas e valem respectivamente 0,6 km e 1 km. Desta forma, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Usando sen 75° = 0,97 e cos 75° = 0,26 encontramos que AB mede aproximadamente 1,024 km.
(    ) O triângulo apresentado é isósceles.
(    ) Não é possível determinar a distância com as informações apresentadas.
(    ) É possível resolver esse problema utilizando a Lei do Cosseno.Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A)  F - V - V - F.
B)  F - V - F - V.
C)  V - F - F - V.
D)  V - F - V - F.

Para resolver o problema, precisamos analisar cada uma das sentenças fornecidas.

### Análise das Sentenças

1. **( ) Usando sen 75° = 0,97 e cos 75° = 0,26 encontramos que AB mede aproximadamente 1,024 km.**

   Podemos usar a Lei dos Cossenos para calcular a medida de \( AB \):
   \[
   AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\theta)
   \]
   Onde \( \theta = 75^\circ \), \( AC = 1 \) km, \( BC = 0,6 \) km, e \( \cos(75^\circ) = 0,26 \).

   Calculando:
   \[
   AB^2 = 1^2 + 0,6^2 - 2 \cdot 1 \cdot 0,6 \cdot 0,26
   \]
   \[
   AB^2 = 1 + 0,36 - 0,312
   \]
   \[
   AB^2 = 1,048 \implies AB \approx \sqrt{1,048} \approx 1,024 \text{ km}
   \]
   Essa sentença é **verdadeira**.

2. **( ) O triângulo apresentado é isósceles.**

   Para um triângulo ser isósceles, dois dos seus lados devem ter medidas iguais. No triângulo dado, os lados \( AC = 1 \) km e \( BC = 0,6 \) km têm medidas diferentes. Portanto, o triângulo não é isósceles.

   Essa sentença é **falsa**.

3. **( ) Não é possível determinar a distância com as informações apresentadas.**

   Pelo contrário, já determinamos a distância \( AB \) usando a Lei dos Cossenos. Então, é possível determinar a distância com as informações fornecidas.

   Essa sentença é **falsa**.

4. **( ) É possível resolver esse problema utilizando a Lei do Cosseno.**

   Como demonstrado no cálculo da primeira sentença, utilizamos a Lei dos Cossenos para resolver o problema.

   Essa sentença é **verdadeira**.

### Sequência Correta
A sequência correta, então, é:

**C) V - F - F - V**

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Tem mais alguma dúvida ou quer mais detalhes sobre esse cálculo? Aqui estão 5 questões relacionadas que podem expandir o entendimento:

1. Como a Lei dos Cossenos pode ser aplicada em outros contextos geométricos?
2. Quais são as diferenças entre a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos na solução de triângulos?
3. Quando é mais vantajoso utilizar a Lei dos Senos em vez da Lei dos Cossenos?
4. Em que casos específicos um triângulo será isósceles?
5. Quais são as aplicações práticas do uso de um teodolito na medição de distâncias?

**Dica**: A Lei dos Cossenos é muito útil para resolver triângulos quando conhecemos duas medidas de lado e o ângulo entre elas.

Explore how to calculate the distance across a mountain using the Law of Cosines in trigonometry. This problem involves determining side lengths and angles of a triangle, applying cosine rule, and solving geometric measurements. Suitable for advanced high school students.

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