Un train quitte la gare et roule vers le nord à 70 km/h. Trois heures plus tard, un second train quitte la même gare sur une voie parallèle et roule vers le nord à 120 km/h.

Soit t, le temps écoulé, en heures, depuis le départ du premier train, et d, la distance parcourue par ce train en kilomètres.

Détermine le moment où les deux trains seront côte à côte si leur vitesse demeure constante et combien de kilomètres auront-ils parcourus.

Pour déterminer le moment où les deux trains seront côte à côte, nous devons établir les équations de leurs mouvements respectifs en fonction du temps.

### Étapes pour résoudre le problème

1. **Établir les équations de mouvement :**

   - Le premier train quitte la gare à \( t = 0 \) et roule vers le nord à une vitesse de 70 km/h.
   - La distance parcourue par le premier train \( d_1 \) après \( t \) heures est donnée par :
     \[
     d_1 = 70t
     \]
   - Le second train quitte la gare 3 heures plus tard, donc à \( t = 3 \) heures, et roule vers le nord à une vitesse de 120 km/h.
   - La distance parcourue par le second train \( d_2 \) après \( t \) heures est donnée par :
     \[
     d_2 = 120(t - 3)
     \]
     où \( t - 3 \) représente le temps écoulé depuis que le second train a quitté la gare.

2. **Égaler les distances parcourues pour trouver le moment où les deux trains sont côte à côte :**

   Pour que les deux trains soient côte à côte, leurs distances parcourues doivent être égales :
   \[
   70t = 120(t - 3)
   \]

3. **Résoudre l'équation :**

   \[
   70t = 120t - 360
   \]
   \[
   360 = 120t - 70t
   \]
   \[
   360 = 50t
   \]
   \[
   t = \frac{360}{50} = 7,2 \text{ heures}
   \]

   Le premier train et le second train seront côte à côte 7,2 heures après le départ du premier train.

4. **Calculer la distance parcourue :**

   Substituons \( t = 7,2 \) dans l'équation de la distance parcourue par le premier train :
   \[
   d_1 = 70 \times 7,2 = 504 \text{ kilomètres}
   \]

   La distance parcourue par les deux trains lorsqu'ils sont côte à côte est donc de 504 kilomètres.

### Résultats
- **Moment où les trains sont côte à côte** : 7,2 heures après le départ du premier train.
- **Distance parcourue par les trains à ce moment** : 504 kilomètres.

Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions pour poursuivre :
1. Comment déterminer l'instant où deux véhicules se croisent en mouvement relatif ?
2. Quelles sont les différences entre les mouvements rectilignes uniformes et uniformément variés ?
3. Comment résoudre des équations de mouvement pour des objets avec des vitesses différentes ?
4. Comment appliquer les concepts de physique cinématique aux problèmes de déplacement ?
5. Comment utiliser les systèmes d'équations pour résoudre des problèmes de distance et de temps ?

**Tip** : Pour résoudre les problèmes de mouvement relatif, il est souvent utile de définir des équations de mouvement pour chaque objet et de les égaler pour trouver le moment où les objets se rencontrent.

Learn how to solve the problem of determining when two trains meet based on their speeds and times. This problem involves kinematics and equations of motion, specifically using the distance formula. Suitable for high school students.

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