Una lancha (izquierda) y un velero (derecha) parten desde un mismo punto y al mismo tiempo en distintas direcciones. Se sabe que la lancha se desplaza a una velocidad de 90 km/h, mientras que el velero lo hace a 70 km/h (ambos siguiendo una trayectoria recta) y además el ángulo que forman sus trayectorias es de 145° (figura). ¿A qué distancia aproximada se hallarán el uno del otro al cabo de 2,5 horas? (deje su resultado final aproximado con 2 decimales) 

Este problema implica el uso de trigonometría, en particular, el teorema del coseno para encontrar la distancia entre la lancha y el velero después de 2,5 horas, dado que se mueven en direcciones diferentes formando un ángulo entre sus trayectorias.

### Datos:

- Velocidad de la lancha: \( 90 \, \text{km/h} \)
- Velocidad del velero: \( 70 \, \text{km/h} \)
- Tiempo transcurrido: \( t = 2.5 \, \text{horas} \)
- Ángulo entre las trayectorias: \( 145^\circ \)

Primero, calculemos la distancia que recorre cada embarcación en 2,5 horas:
- Distancia recorrida por la lancha: 
  \[
  d_1 = 90 \, \text{km/h} \times 2.5 \, \text{h} = 225 \, \text{km}
  \]
- Distancia recorrida por el velero: 
  \[
  d_2 = 70 \, \text{km/h} \times 2.5 \, \text{h} = 175 \, \text{km}
  \]

Ahora aplicamos el **teorema del coseno** para encontrar la distancia \( D \) entre la lancha y el velero después de 2,5 horas. El teorema del coseno dice:
\[
D^2 = d_1^2 + d_2^2 - 2 \cdot d_1 \cdot d_2 \cdot \cos(\theta)
\]
Donde:
- \( d_1 = 225 \, \text{km} \)
- \( d_2 = 175 \, \text{km} \)
- \( \theta = 145^\circ \)

El coseno de \( 145^\circ \) es negativo, entonces \( \cos(145^\circ) = -0.81915 \).

Sustituimos los valores:
\[
D^2 = 225^2 + 175^2 - 2 \cdot 225 \cdot 175 \cdot (-0.81915)
\]
\[
D^2 = 50625 + 30625 + 2 \cdot 225 \cdot 175 \cdot 0.81915
\]
\[
D^2 = 50625 + 30625 + 64396.55
\]
\[
D^2 = 145646.55
\]
Finalmente, sacamos la raíz cuadrada:
\[
D = \sqrt{145646.55} \approx 381.61 \, \text{km}
\]

### Respuesta final:
La distancia entre la lancha y el velero al cabo de 2,5 horas será aproximadamente **381.61 km**.

---

¿Te gustaría que explique algún paso en mayor detalle o tienes alguna duda? 

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se aplicaría el teorema del coseno en un caso tridimensional?
2. ¿Qué sucede si el ángulo entre las trayectorias es 90°? ¿Cómo cambia la fórmula?
3. ¿Cómo cambiaría la respuesta si las velocidades de los barcos fueran variables?
4. ¿Qué papel juega el signo del coseno en el cálculo de la distancia?
5. ¿Cómo afectaría un cambio en el ángulo a la distancia final?

**Tip**: El teorema del coseno es útil para resolver triángulos cuando conocemos dos lados y el ángulo entre ellos, como en este caso.

Una lancha (izquierda) y un velero (derecha) parten desde un mismo punto y al mismo tiempo en distintas direcciones. Se sabe que la lancha se desplaza a una velocidad de 90 km/h, mientras que el velero lo hace a 70 km/h (ambos siguiendo una trayectoria recta) y además el ángulo que forman sus trayectorias es de 145°. ¿A qué distancia aproximada se hallarán el uno del otro al cabo de 2,5 horas? (deje su resultado final aproximado con 2 decimales)

Find out how to calculate the distance between a boat moving at 90 km/h and a sailboat moving at 70 km/h after 2.5 hours, using the cosine rule and a 145° angle between their paths. Step-by-step solution with detailed formulas and calculations provided. Ideal for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation