Encuentre la distancia entre la recta paralela a -3x+4y=-5 y que pasa por el punto 
(-1, -1), y el punto de intersección de las rectas -7x+2y=4 y 2x-8y =-1

### Paso 1: Identificar la ecuación de la recta paralela
La recta paralela a la ecuación \(-3x + 4y = -5\) tendrá la misma pendiente. Vamos a escribir la ecuación en su forma pendiente-intersección \(y = mx + b\).

\[
-3x + 4y = -5
\]
Despejamos \(y\):
\[
4y = 3x - 5
\]
\[
y = \frac{3}{4}x - \frac{5}{4}
\]

La pendiente es \(\frac{3}{4}\). Cualquier recta paralela tendrá la misma pendiente.

Ahora utilizamos la ecuación de una recta en forma punto-pendiente:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
donde \(m = \frac{3}{4}\) y el punto \((-1, -1)\) es dado. Sustituimos estos valores:
\[
y + 1 = \frac{3}{4}(x + 1)
\]
Multiplicamos:
\[
y + 1 = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}
\]
Restamos 1 a ambos lados:
\[
y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4} - 1
\]
\[
y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}
\]

La ecuación de la recta que pasa por \((-1, -1)\) es:
\[
y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}
\]

### Paso 2: Encontrar el punto de intersección de las rectas
Tenemos las siguientes dos rectas:
\[
-7x + 2y = 4
\]
\[
2x - 8y = -1
\]

Resolveremos este sistema de ecuaciones. Primero, multiplicamos la primera ecuación por 4 para hacer que los coeficientes de \(y\) sean los mismos:
\[
-28x + 8y = 16
\]
\[
2x - 8y = -1
\]

Sumamos las dos ecuaciones para eliminar \(y\):
\[
(-28x + 2x) + (8y - 8y) = 16 + (-1)
\]
\[
-26x = 15
\]
Despejamos \(x\):
\[
x = -\frac{15}{26}
\]

Sustituimos \(x = -\frac{15}{26}\) en la primera ecuación para encontrar \(y\):
\[
-7\left(-\frac{15}{26}\right) + 2y = 4
\]
\[
\frac{105}{26} + 2y = 4
\]
Restamos \(\frac{105}{26}\) de ambos lados:
\[
2y = 4 - \frac{105}{26}
\]
Convertimos 4 a fracción con denominador 26:
\[
2y = \frac{104}{26} - \frac{105}{26}
\]
\[
2y = -\frac{1}{26}
\]
\[
y = -\frac{1}{52}
\]

El punto de intersección es \(\left(-\frac{15}{26}, -\frac{1}{52}\right)\).

### Paso 3: Calcular la distancia entre el punto y la recta
La fórmula para la distancia entre un punto \((x_1, y_1)\) y una recta \(Ax + By + C = 0\) es:
\[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
La recta que obtuvimos es \(y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}\), o en su forma general:
\[
3x - 4y - 1 = 0
\]

Sustituimos el punto \(\left(-\frac{15}{26}, -\frac{1}{52}\right)\) en la fórmula de distancia:
\[
d = \frac{|3\left(-\frac{15}{26}\right) - 4\left(-\frac{1}{52}\right) - 1|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}
\]
\[
d = \frac{\left|-\frac{45}{26} + \frac{4}{52} - 1\right|}{\sqrt{9 + 16}}
\]
\[
d = \frac{\left|-\frac{45}{26} + \frac{2}{26} - \frac{26}{26}\right|}{\sqrt{25}}
\]
\[
d = \frac{\left|-\frac{69}{26}\right|}{5}
\]
\[
d = \frac{69}{26 \times 5}
\]
\[
d = \frac{69}{130}
\]

Finalmente:
\[
d = \frac{69}{130} \approx 0.53
\]

### La distancia es aproximadamente \(0.53\) unidades.

¿Te gustaría más detalles o aclaraciones sobre algún paso?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano?
2. ¿Qué otros métodos se pueden utilizar para encontrar el punto de intersección entre dos rectas?
3. ¿Cuál es la fórmula para la pendiente de una recta?
4. ¿Cómo se puede convertir una ecuación de recta a la forma general?
5. ¿Cuál es el significado geométrico de la pendiente de una recta?

### Tip: Siempre revisa los cálculos de intersección de rectas, ya que los errores en signos pueden cambiar drásticamente los resultados.

Encuentre la distancia entre la recta paralela a -3x+4y=-5 y que pasa por el punto (-1, -1), y el punto de intersección de las rectas -7x+2y=4 y 2x-8y =-1

This problem involves finding the distance between a line parallel to -3x+4y=-5 passing through (-1, -1) and the intersection point of the lines -7x+2y=4 and 2x-8y=-1. Learn how to calculate the slope of parallel lines, solve systems of linear equations, and use the distance formula.

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