
Se desea saber cuál es la distancia entre dos placas de aluminio cuyas ecuaciones son: 𝑃1: 2𝑥 − 4𝑦 + 5𝑧 = 20 y
𝑃2: 2𝑥 − 4𝑦 + 5𝑧 = −16. La distancia está en cm.


La ecuación de un plano en el espacio tiene la forma general \( Ax + By + Cz + D = 0 \). En este caso, las ecuaciones de las dos placas de aluminio son:

- \( P_1: 2x - 4y + 5z = 20 \)
- \( P_2: 2x - 4y + 5z = -16 \)

Estas dos placas son paralelas, ya que sus coeficientes de \(x\), \(y\) y \(z\) son los mismos (es decir, \(2x - 4y + 5z\)). Para determinar la distancia entre dos planos paralelos, usamos la siguiente fórmula:

\[
d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
\]

Donde:
- \(D_1\) y \(D_2\) son los términos independientes de las ecuaciones de los planos (en este caso, 20 y -16),
- \(A\), \(B\), y \(C\) son los coeficientes de \(x\), \(y\) y \(z\), respectivamente.

### Paso 1: Aplicamos los valores a la fórmula
En este caso:
- \( A = 2 \),
- \( B = -4 \),
- \( C = 5 \),
- \( D_1 = 20 \),
- \( D_2 = -16 \).

La distancia es:

\[
d = \frac{|20 - (-16)|}{\sqrt{2^2 + (-4)^2 + 5^2}} = \frac{|20 + 16|}{\sqrt{4 + 16 + 25}} = \frac{36}{\sqrt{45}}
\]

### Paso 2: Simplificamos la expresión
\[
d = \frac{36}{\sqrt{45}} = \frac{36}{\sqrt{9 \times 5}} = \frac{36}{3\sqrt{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}}
\]

Para racionalizar el denominador:

\[
d = \frac{12}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5}
\]

### Resultado:
La distancia entre las dos placas es \( \frac{12\sqrt{5}}{5} \) cm, que es aproximadamente \( 5.37 \) cm.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula la distancia entre puntos en lugar de planos?
2. ¿Por qué las ecuaciones de los planos deben ser paralelas para aplicar esta fórmula?
3. ¿Qué ocurre si los planos no son paralelos, cómo se calcula la distancia en ese caso?
4. ¿Cómo influye la normal del plano en el cálculo de la distancia?
5. ¿Cómo se puede representar gráficamente estos planos en el espacio?

**Tip**: Cuando trabajas con geometría en el espacio, es muy útil identificar las normales a los planos, ya que ellas determinan la orientación de los planos y son claves en muchos cálculos de distancias.

Se desea saber cuál es la distancia entre dos placas de aluminio cuyas ecuaciones son: 𝑃1: 2𝑥 − 4𝑦 + 5𝑧 = 20 y 𝑃2: 2𝑥 − 4𝑦 + 5𝑧 = −16. La distancia está en cm.

Learn how to calculate the distance between two parallel aluminum plates using the equations 2x - 4y + 5z = 20 and 2x - 4y + 5z = -16. This problem involves the distance formula for parallel planes and requires algebraic manipulation. Suitable for high school students in Grades 11-12.

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