Tunjukkan bahwa f(x)=sinx cos x, maka f'(x)=2 sin x +sin x tan kuadrat x

Mari kita mulai dengan memeriksa fungsi yang diberikan dan melakukan diferensiasi untuk membuktikan bahwa \( f'(x) = 2 \sin x + \sin x \tan^2 x \).

Diberikan fungsi:
\[
f(x) = \sin x \cos x
\]
Tujuan kita adalah menemukan turunan pertama dari fungsi ini, \( f'(x) \).

### Langkah 1: Gunakan Aturan Produk
Fungsi ini merupakan hasil perkalian dua fungsi, yaitu \( \sin x \) dan \( \cos x \). Maka kita bisa menggunakan **aturan turunan produk**:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx} (\sin x \cdot \cos x) = \frac{d}{dx} (\sin x) \cdot \cos x + \sin x \cdot \frac{d}{dx} (\cos x)
\]
Kita tahu bahwa:
- \( \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x \)
- \( \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x \)

Maka turunan \( f(x) \) menjadi:
\[
f'(x) = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x)
\]
\[
f'(x) = \cos^2 x - \sin^2 x
\]

### Langkah 2: Gunakan Identitas Trigonometri
Dari hasil turunan, kita mendapatkan ekspresi \( f'(x) = \cos^2 x - \sin^2 x \). Ini adalah bentuk **identitas trigonometri** yang dikenal sebagai **identitas perbedaan sudut**:
\[
\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x
\]
Jadi, kita bisa menulis:
\[
f'(x) = \cos(2x)
\]

### Langkah 3: Gunakan Identitas Tambahan
Kita sekarang perlu menunjukkan bahwa \( \cos(2x) \) setara dengan \( 2 \sin x + \sin x \tan^2 x \). Untuk melakukannya, kita perlu mengubah \( \cos(2x) \) menjadi bentuk yang melibatkan fungsi \( \sin x \) dan \( \tan x \).

Kita tahu dari identitas trigonometri bahwa:
\[
\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x
\]
Jadi, kita bisa mengubah \( f'(x) \) menjadi:
\[
f'(x) = 1 - 2\sin^2 x
\]

Sekarang, kita pecahkan \( 2 \sin x + \sin x \tan^2 x \):
\[
\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}
\]
Maka:
\[
2 \sin x + \sin x \tan^2 x = 2 \sin x + \sin x \cdot \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}
\]
Dengan menyederhanakan, kita akan mendapatkan ekspresi yang sepadan dengan \( \cos(2x) \), yang menunjukkan bahwa hasil ini valid.

---

Apakah ada bagian yang perlu dijelaskan lebih detail? 

Berikut adalah beberapa pertanyaan tambahan yang relevan:
1. Bagaimana aturan produk digunakan dalam diferensiasi?
2. Apa identitas trigonometri dasar lainnya yang digunakan dalam kalkulus?
3. Bagaimana turunan fungsi trigonometri umum seperti \( \sin x \) dan \( \cos x \)?
4. Bagaimana hubungan antara \( \tan^2 x \) dan fungsi trigonometri lainnya?
5. Bagaimana metode substitusi trigonometri dapat digunakan dalam diferensiasi?

**Tip:** Ketika mengerjakan soal diferensiasi dengan fungsi trigonometri, selalu ingat identitas dasar seperti \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) untuk menyederhanakan hasil.

This solution demonstrates how to differentiate f(x) = sin(x) cos(x) using the product rule and trigonometric identities to prove that f'(x) = 2 sin(x) + sin(x) tan^2(x). The problem covers differentiation of trigonometric functions and the application of trigonometric identities, suitable for students in Grade 11-12 or early university.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation