19 Soit l'équation différentielle y' - 5y = 3

Algo

1. Résoudre cette équation différentielle.

2. Déterminer la solution f telle que f(0) = - 6/5

3. Étudier les variations de f sur R.

4. Étudier les limites de f en + ∞ et -∞.

5. Déterminer la valeur de x pour laquelle f(x) = - 10

6. Résoudre l'inéquation f(x) < - 100 .

7. Écrire un algorithme permettant de déterminer à partir de quelle valeur entière positive de x on a f(x) < - 10000.

### 1. **Résolution de l'équation différentielle \( y' - 5y = 3 \)**

L'équation différentielle donnée est de la forme \( y' - 5y = 3 \).

#### Étape 1: Résolution de l'équation homogène associée
L'équation homogène associée est :
\[
y' - 5y = 0
\]
Cela peut se réécrire comme :
\[
y' = 5y
\]
C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à variables séparables. Sa solution générale est :
\[
y_h(x) = Ce^{5x}
\]
où \( C \) est une constante d'intégration.

#### Étape 2: Détermination d'une solution particulière
Nous cherchons une solution particulière \( y_p \) de l'équation complète \( y' - 5y = 3 \). On propose une solution particulière de la forme constante :
\[
y_p(x) = A
\]
Substituons \( y_p(x) = A \) dans l'équation différentielle :
\[
0 - 5A = 3
\]
Cela donne :
\[
A = -\frac{3}{5}
\]

#### Étape 3: Solution générale de l'équation différentielle
La solution générale de l'équation différentielle est la somme de la solution générale de l'équation homogène et de la solution particulière :
\[
y(x) = Ce^{5x} - \frac{3}{5}
\]

### 2. **Détermination de la solution avec \( f(0) = -\frac{6}{5} \)**

Nous savons que \( f(0) = -\frac{6}{5} \). Utilisons cette condition initiale pour déterminer la constante \( C \).

À \( x = 0 \), l'équation devient :
\[
f(0) = Ce^{0} - \frac{3}{5} = C - \frac{3}{5}
\]
Sachant que \( f(0) = -\frac{6}{5} \), nous avons :
\[
-\frac{6}{5} = C - \frac{3}{5}
\]
\[
C = -\frac{6}{5} + \frac{3}{5} = -\frac{3}{5}
\]

Ainsi, la solution particulière est :
\[
f(x) = -\frac{3}{5}e^{5x} - \frac{3}{5}
\]

### 3. **Étude des variations de \( f \) sur \( \mathbb{R} \)**

La fonction \( f(x) = -\frac{3}{5}e^{5x} - \frac{3}{5} \) est une fonction exponentielle décroissante car \( e^{5x} \) croît avec \( x \), mais le signe négatif devant \( \frac{3}{5}e^{5x} \) rend la fonction décroissante.

#### Dérivée de \( f \):
\[
f'(x) = -\frac{3}{5} \cdot 5e^{5x} = -3e^{5x}
\]
Comme \( f'(x) < 0 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \), la fonction \( f(x) \) est strictement décroissante sur \( \mathbb{R} \).

### 4. **Étude des limites de \( f \) en \( +\infty \) et \( -\infty \)**

- Limite en \( +\infty \):
\[
\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left( -\frac{3}{5}e^{5x} - \frac{3}{5} \right) = -\infty
\]

- Limite en \( -\infty \):
\[
\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left( -\frac{3}{5}e^{5x} - \frac{3}{5} \right) = -\frac{3}{5}
\]

### 5. **Détermination de \( x \) pour laquelle \( f(x) = -10 \)**

Nous devons résoudre l'équation :
\[
f(x) = -10
\]
Cela donne :
\[
-\frac{3}{5}e^{5x} - \frac{3}{5} = -10
\]
Multiplions par 5 des deux côtés :
\[
-3e^{5x} - 3 = -50
\]
Ajoutons 3 aux deux côtés :
\[
-3e^{5x} = -47
\]
Divisons par -3 :
\[
e^{5x} = \frac{47}{3}
\]
Prenons le logarithme naturel des deux côtés :
\[
5x = \ln\left(\frac{47}{3}\right)
\]
Divisons par 5 :
\[
x = \frac{1}{5} \ln\left(\frac{47}{3}\right)
\]

### 6. **Résolution de l'inéquation \( f(x) < -100 \)**

Résolvons l'inéquation suivante :
\[
-\frac{3}{5}e^{5x} - \frac{3}{5} < -100
\]
Multiplions par 5 des deux côtés :
\[
-3e^{5x} - 3 < -500
\]
Ajoutons 3 des deux côtés :
\[
-3e^{5x} < -497
\]
Divisons par -3 :
\[
e^{5x} > \frac{497}{3}
\]
Prenons le logarithme naturel des deux côtés :
\[
5x > \ln\left(\frac{497}{3}\right)
\]
Divisons par 5 :
\[
x > \frac{1}{5} \ln\left(\frac{497}{3}\right)
\]

### 7. **Algorithme pour déterminer la valeur entière de \( x \) pour laquelle \( f(x) < -10000 \)**

Pour déterminer la première valeur entière de \( x \) telle que \( f(x) < -10000 \), il suffit de résoudre l'inéquation \( f(x) < -10000 \) de manière similaire à l'étape précédente. Nous devons trouver \( x \) tel que :
\[
-\frac{3}{5}e^{5x} - \frac{3}{5} < -10000
\]
Cela donne :
\[
e^{5x} > \frac{9997}{3}
\]
Prenons le logarithme naturel :
\[
5x > \ln\left(\frac{9997}{3}\right)
\]
\[
x > \frac{1}{5} \ln\left(\frac{9997}{3}\right)
\]

L'algorithme suivant permet de trouver cette valeur :
```python
import math

def trouver_x():
    seuil = 10000
    n = 0
    while -3/5 * math.exp(5*n) - 3/5 >= -seuil:
        n += 1
    return n

x_min = trouver_x()
print("La première valeur entière de x telle que f(x) < -10000 est:", x_min)
```

---

### Questions supplémentaires
1. Comment le choix de la constante d'intégration impacte-t-il la solution générale ?
2. Pourquoi la fonction exponentielle est-elle décroissante dans ce cas ?
3. Quelle est la différence entre une solution particulière et une solution générale ?
4. Comment les limites aux infinis permettent-elles d'analyser le comportement d'une fonction ?
5. Peut-on résoudre l'inéquation sans utiliser de logarithmes ?

### Astuce
Lorsque vous résolvez une équation différentielle, essayez toujours de résoudre d'abord l'équation homogène associée. Cela simplifie l'obtention de la solution générale.

Soit l'équation différentielle y' - 5y = 3. Résoudre cette équation, déterminer la solution avec f(0) = -6/5, étudier les variations de f sur R, étudier les limites en +∞ et -∞, déterminer x pour f(x) = -10, résoudre l'inéquation f(x) < -100, et déterminer la valeur entière positive de x pour laquelle f(x) < -10000.

This solution explores how to solve the differential equation y' - 5y = 3, find the specific solution with f(0) = -6/5, study the function's variations and limits at infinity, and solve inequalities like f(x) < -100 and f(x) = -10. Suitable for advanced high school or undergraduate students.

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