solucion de la ecuacion diferencial y'-5y=0

La ecuación diferencial que planteas es de la forma:

\[
y' - 5y = 0
\]

Es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Para resolverla, usamos el método de separación de variables.

### Paso 1: Reorganizar la ecuación
\[
y' = 5y
\]

### Paso 2: Separar las variables
\[
\frac{dy}{y} = 5 \, dx
\]

### Paso 3: Integrar ambos lados
Integramos ambos lados de la ecuación:

\[
\int \frac{1}{y} \, dy = \int 5 \, dx
\]

\[
\ln |y| = 5x + C
\]

donde \( C \) es la constante de integración.

### Paso 4: Resolver para \( y \)
Para despejar \( y \), aplicamos la exponencial en ambos lados:

\[
y = e^{5x + C} = e^C \cdot e^{5x}
\]

Como \( e^C \) es una constante, podemos llamarla \( C_1 \), lo que nos da la solución general:

\[
y = C_1 e^{5x}
\]

### Solución general:
\[
y(x) = C_1 e^{5x}
\]
donde \( C_1 \) es una constante arbitraria determinada por las condiciones iniciales (si las hubiera).

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí te dejo algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplican condiciones iniciales para encontrar \( C_1 \)?
2. ¿Cómo se resuelve una ecuación diferencial con coeficientes variables?
3. ¿Qué pasa si en lugar de una ecuación homogénea, tenemos \( y' - 5y = f(x) \)?
4. ¿Qué son las soluciones particulares en ecuaciones diferenciales?
5. ¿Cómo se interpretan físicamente las soluciones de una ecuación diferencial?

**Tip:** En ecuaciones diferenciales, la constante de integración es clave para ajustar la solución a condiciones específicas del problema.

Learn how to solve the first-order differential equation y' - 5y = 0 using the separation of variables method. This detailed explanation covers the integration steps and the general solution y = C_1 e^{5x}, suitable for university-level calculus students.

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