determine si el conjunto de vectores {(1,5), (4,3), (2,-5)} son linealmente dependientes o linealmente independiente 

Para determinar si el conjunto de vectores \( S = \{(1,5), (4,3), (2,-5)\} \) es linealmente dependiente o independiente, debemos verificar si existe una combinación lineal no trivial de estos vectores que sea igual al vector cero.

### Paso 1: Formular la combinación lineal

Consideremos una combinación lineal de los vectores en \( S \):

\[
c_1(1,5) + c_2(4,3) + c_3(2,-5) = (0,0)
\]

Expandiendo esto, obtenemos:

\[
(c_1 \cdot 1 + c_2 \cdot 4 + c_3 \cdot 2, \, c_1 \cdot 5 + c_2 \cdot 3 + c_3 \cdot -5) = (0, 0)
\]

Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

\[
\begin{aligned}
1) & \quad c_1 + 4c_2 + 2c_3 = 0 \\
2) & \quad 5c_1 + 3c_2 - 5c_3 = 0
\end{aligned}
\]

### Paso 2: Resolver el sistema de ecuaciones

Podemos resolver el sistema utilizando métodos como la eliminación por sustitución, reducción de matrices o cualquier otro método de álgebra lineal.

**Ecuación 1:**

\[
c_1 + 4c_2 + 2c_3 = 0 \quad \text{(i)}
\]

**Ecuación 2:**

\[
5c_1 + 3c_2 - 5c_3 = 0 \quad \text{(ii)}
\]

Podemos expresar \( c_1 \) en términos de \( c_2 \) y \( c_3 \) usando la ecuación (i):

\[
c_1 = -4c_2 - 2c_3
\]

Sustituyendo esto en la ecuación (ii):

\[
5(-4c_2 - 2c_3) + 3c_2 - 5c_3 = 0
\]

Expandiendo y simplificando:

\[
-20c_2 - 10c_3 + 3c_2 - 5c_3 = 0
\]

\[
-17c_2 - 15c_3 = 0
\]

Podemos simplificar esta ecuación dividiendo todo por -1:

\[
17c_2 + 15c_3 = 0
\]

De aquí, obtenemos que:

\[
c_2 = -\frac{15}{17}c_3
\]

Sustituyendo este valor en la expresión de \( c_1 \):

\[
c_1 = -4\left(-\frac{15}{17}c_3\right) - 2c_3
\]

\[
c_1 = \frac{60}{17}c_3 - 2c_3 = \frac{60}{17}c_3 - \frac{34}{17}c_3 = \frac{26}{17}c_3
\]

Esto nos indica que los escalares \( c_1, c_2 \) y \( c_3 \) no son todos cero a menos que \( c_3 = 0 \). Si \( c_3 = 0 \), entonces \( c_2 = 0 \) y \( c_1 = 0 \).

### Paso 3: Conclusión

Como hemos encontrado una relación no trivial entre los escalares \( c_1, c_2 \), y \( c_3 \), esto implica que los vectores no son linealmente independientes. Por lo tanto, el conjunto \( S = \{(1,5), (4,3), (2,-5)\} \) es **linealmente dependiente**.

¿Te gustaría más detalles o alguna aclaración? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afecta la dependencia lineal al rango de una matriz?
2. ¿Cómo se relaciona la independencia lineal con la dimensión de un subespacio?
3. ¿Qué significa geométricamente que un conjunto de vectores sea linealmente dependiente?
4. ¿Cómo encontrar la combinación lineal específica que resulta en dependencia?
5. ¿Qué sucede si agregamos un cuarto vector al conjunto actual?

**Tip:** Si un conjunto de vectores en \( \mathbb{R}^n \) tiene más de \( n \) vectores, siempre serán linealmente dependientes debido a la dimensión del espacio.

Learn how to determine if the set of vectors {(1,5), (4,3), (2,-5)} is linearly dependent or independent using linear algebra concepts. Step-by-step solution provided with detailed calculations and explanations. Suitable for advanced high school students.

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