Determine la salida del muestreador x*(t) para cada una de las siguientes funciones.
a) x(t) = 3t                          T = 0.5 s
b) x(t) = sen(5t)                  T = π/2 s
c) x(t) = tsen(4t)                 T = 0.3 s
d) x(t) = (e^−3t) sen(5t)    T = 0.3 s
e) x(t) = 4te^−4t               T = 0.2 s
f) x(t) = 2t^2                     T = 0.3 s

Explícame bien el paso a paso de como se hace y el por que se hace de esa forma. 

Para determinar la salida del muestreador \( x^*(t) \), se debe entender que el proceso de muestreo consiste en tomar valores de la función original \( x(t) \) en instantes discretos espaciados por un periodo \( T \). Estos instantes corresponden a \( t = nT \), donde \( n \) es un número entero (n = 0, 1, 2, 3,...).

El valor muestreado en cada instante es simplemente el valor de la función \( x(t) \) evaluada en esos puntos \( t = nT \). Es decir, para una función \( x(t) \), el muestreo en instantes \( nT \) produce una secuencia de valores:

\[
x^*(t) = x(nT), \quad \text{para} \, n = 0, 1, 2, 3, ...
\]

Vamos a ver cada uno de los casos:

### a) \( x(t) = 3t \), \( T = 0.5 \, \text{s} \)

Para esta función, el muestreo se realiza en los tiempos \( t = nT = 0, 0.5, 1, 1.5, \dots \).

Para \( n = 0 \), \( t = 0 \):
\[
x(0) = 3(0) = 0
\]

Para \( n = 1 \), \( t = 0.5 \):
\[
x(0.5) = 3(0.5) = 1.5
\]

Para \( n = 2 \), \( t = 1 \):
\[
x(1) = 3(1) = 3
\]

Para \( n = 3 \), \( t = 1.5 \):
\[
x(1.5) = 3(1.5) = 4.5
\]

Y así sucesivamente. Por lo tanto, los valores muestreados serían:
\[
x^*(t) = \{0, 1.5, 3, 4.5, \dots\}
\]

---

### b) \( x(t) = \sin(5t) \), \( T = \frac{\pi}{2} \, \text{s} \)

Aquí, el muestreo se realiza en tiempos \( t = nT = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, \dots \).

Para \( n = 0 \), \( t = 0 \):
\[
x(0) = \sin(5(0)) = 0
\]

Para \( n = 1 \), \( t = \frac{\pi}{2} \):
\[
x\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(5 \times \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) = 1
\]

Para \( n = 2 \), \( t = \pi \):
\[
x(\pi) = \sin(5\pi) = 0
\]

Para \( n = 3 \), \( t = \frac{3\pi}{2} \):
\[
x\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(5 \times \frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{15\pi}{2}\right) = -1
\]

Y así sucesivamente. Los valores muestreados serían:
\[
x^*(t) = \{0, 1, 0, -1, 0, 1, \dots\}
\]

---

### c) \( x(t) = t \sin(4t) \), \( T = 0.3 \, \text{s} \)

El muestreo se realiza en tiempos \( t = nT = 0, 0.3, 0.6, 0.9, \dots \).

Para \( n = 0 \), \( t = 0 \):
\[
x(0) = 0 \times \sin(4 \times 0) = 0
\]

Para \( n = 1 \), \( t = 0.3 \):
\[
x(0.3) = 0.3 \times \sin(4 \times 0.3) = 0.3 \times \sin(1.2) \approx 0.3 \times 0.932 = 0.2796
\]

Para \( n = 2 \), \( t = 0.6 \):
\[
x(0.6) = 0.6 \times \sin(4 \times 0.6) = 0.6 \times \sin(2.4) \approx 0.6 \times 0.675 = 0.405
\]

Para \( n = 3 \), \( t = 0.9 \):
\[
x(0.9) = 0.9 \times \sin(4 \times 0.9) = 0.9 \times \sin(3.6) \approx 0.9 \times -0.4425 = -0.3983
\]

Los valores muestreados serían:
\[
x^*(t) = \{0, 0.2796, 0.405, -0.3983, \dots\}
\]

---

### d) \( x(t) = e^{-3t} \sin(5t) \), \( T = 0.3 \, \text{s} \)

Aquí, se realiza el muestreo en tiempos \( t = nT = 0, 0.3, 0.6, 0.9, \dots \).

Para \( n = 0 \), \( t = 0 \):
\[
x(0) = e^{-3(0)} \sin(5(0)) = 1 \times 0 = 0
\]

Para \( n = 1 \), \( t = 0.3 \):
\[
x(0.3) = e^{-3(0.3)} \sin(5 \times 0.3) = e^{-0.9} \sin(1.5) \approx 0.4066 \times 0.9975 = 0.4056
\]

Para \( n = 2 \), \( t = 0.6 \):
\[
x(0.6) = e^{-3(0.6)} \sin(5 \times 0.6) = e^{-1.8} \sin(3) \approx 0.1653 \times 0.1411 = 0.02333
\]

Para \( n = 3 \), \( t = 0.9 \):
\[
x(0.9) = e^{-3(0.9)} \sin(5 \times 0.9) = e^{-2.7} \sin(4.5) \approx 0.0672 \times -0.9775 = -0.0657
\]

Los valores muestreados serían:
\[
x^*(t) = \{0, 0.4056, 0.02333, -0.0657, \dots\}
\]

---

### e) \( x(t) = 4t e^{-4t} \), \( T = 0.2 \, \text{s} \)

Para esta función, el muestreo ocurre en tiempos \( t = nT = 0, 0.2, 0.4, 0.6, \dots \).

Para \( n = 0 \), \( t = 0 \):
\[
x(0) = 4(0) e^{-4(0)} = 0
\]

Para \( n = 1 \), \( t = 0.2 \):
\[
x(0.2) = 4(0.2) e^{-4(0.2)} = 0.8 \times e^{-0.8} \approx 0.8 \times 0.4493 = 0.3594
\]

Para \( n = 2 \), \( t = 0.4 \):
\[
x(0.4) = 4(0.4) e^{-4(0.4)} = 1.6 \times e^{-1.6} \approx 1.6 \times 0.2019 = 0.3230
\]

Para \( n = 3 \), \( t = 0.6 \):
\[
x(0.6) = 4(0.6) e^{-4(0.6)} = 2.4 \times e^{-2.4} \approx 2.4 \times 0.0907 = 0.2177
\]

Los valores muestreados serían:
\[
x^*(t) = \{0, 0.3594, 0.3230, 0.2177, \dots\}
\]

---

### f) \( x(t) = 2t^2 \), \( T = 0.3 \, \text{s} \)

Aquí, el muestreo se realiza en tiempos \( t = nT = 0,

Determine la salida del muestreador x*(t) para cada una de las siguientes funciones.
a) x(t) = 3t                          T = 0.5 s
b) x(t) = sen(5t)                  T = π/2 s
c) x(t) = tsen(4t)                 T = 0.3 s
d) x(t) = (e^−3t) sen(5t)    T = 0.3 s
e) x(t) = 4te^−4t               T = 0.2 s
f) x(t) = 2t^2                     T = 0.3 s

Explícame bien el paso a paso de como se hace y el por que se hace de esa forma.

Learn how to determine the sampled output for functions such as 3t, sin(5t), tsin(4t), and others. This step-by-step guide covers key concepts in sampling theory, including the application of trigonometric and exponential functions. Suitable for undergraduate students in Electrical Engineering or Signal Processing.

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