Escriba la ecuación de linealización para la distancia AB, cuya longitud medida es 
de 132.823m. Las coordenadas (X,Y) aproximadas para las estaciones A y B son 
(1023.151,873.018) y (1094.310,985.163), respectivamente. 
Utilice teorema de Taylor. 

Para encontrar la ecuación de linealización de la distancia \( d \) entre los puntos \( A \) y \( B \), utilizaremos el teorema de Taylor. Primero, expresamos la distancia \( d \) como una función de las coordenadas \( X \) y \( Y \) de los puntos \( A \) y \( B \):

\[
d(X_A, Y_A, X_B, Y_B) = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2}
\]

### Paso 1: Encontrar los valores aproximados de la función
Dados:
- Coordenadas aproximadas de \( A \): \( (X_A, Y_A) = (1023.151, 873.018) \)
- Coordenadas aproximadas de \( B \): \( (X_B, Y_B) = (1094.310, 985.163) \)
- Longitud medida \( d \) es 132.823 metros.

Primero, calculamos la distancia aproximada usando estas coordenadas:

\[
d_0 = \sqrt{(1094.310 - 1023.151)^2 + (985.163 - 873.018)^2}
\]

### Paso 2: Derivadas parciales
Para linealizar la función \( d(X_A, Y_A, X_B, Y_B) \), calculamos las derivadas parciales de \( d \) con respecto a \( X_A \), \( Y_A \), \( X_B \), y \( Y_B \):

\[
\frac{\partial d}{\partial X_A} = \frac{X_A - X_B}{d(X_A, Y_A, X_B, Y_B)}
\]

\[
\frac{\partial d}{\partial Y_A} = \frac{Y_A - Y_B}{d(X_A, Y_A, X_B, Y_B)}
\]

\[
\frac{\partial d}{\partial X_B} = \frac{X_B - X_A}{d(X_A, Y_A, X_B, Y_B)}
\]

\[
\frac{\partial d}{\partial Y_B} = \frac{Y_B - Y_A}{d(X_A, Y_A, X_B, Y_B)}
\]

### Paso 3: Ecuación de linealización
La ecuación de linealización, utilizando el teorema de Taylor en primer orden, es:

\[
d(X_A, Y_A, X_B, Y_B) \approx d_0 + \frac{\partial d}{\partial X_A} \Delta X_A + \frac{\partial d}{\partial Y_A} \Delta Y_A + \frac{\partial d}{\partial X_B} \Delta X_B + \frac{\partial d}{\partial Y_B} \Delta Y_B
\]

Donde \( \Delta X_A \), \( \Delta Y_A \), \( \Delta X_B \), y \( \Delta Y_B \) son las correcciones en las coordenadas de \( A \) y \( B \).

Voy a calcular las derivadas parciales y escribir la ecuación de linealización completa.La ecuación de linealización para la distancia \( d \) entre los puntos \( A \) y \( B \), utilizando el teorema de Taylor, es la siguiente:

\[
d(X_A, Y_A, X_B, Y_B) \approx 132.816 + (-0.536) \Delta X_A + (-0.844) \Delta Y_A + (0.536) \Delta X_B + (0.844) \Delta Y_B
\]

Aquí:
- \( d_0 \approx 132.816 \) metros es la distancia aproximada calculada usando las coordenadas dadas.
- \( \Delta X_A \), \( \Delta Y_A \), \( \Delta X_B \), y \( \Delta Y_B \) son las correcciones a las coordenadas \( X \) e \( Y \) de los puntos \( A \) y \( B \), respectivamente.

Esto linealiza la función de distancia alrededor de las coordenadas aproximadas dadas.

¿Te gustaría más detalles sobre esta linealización o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Qué significan los coeficientes de las derivadas parciales en la ecuación de linealización?
2. ¿Cómo afectaría una pequeña corrección en las coordenadas \( X_A \) y \( Y_A \) al valor linealizado de \( d \)?
3. ¿Cómo se puede utilizar esta ecuación para ajustar las coordenadas medidas en un levantamiento topográfico?
4. ¿Qué suposiciones subyacen en la linealización usando el teorema de Taylor?
5. ¿Cómo influye la precisión de las coordenadas iniciales en la exactitud de la ecuación linealizada?

**Tip:** La linealización es útil cuando se trabaja con pequeñas correcciones o errores, ya que simplifica cálculos sin sacrificar mucha precisión.

Aprenda a calcular la ecuación de linealización para la distancia AB utilizando el teorema de Taylor. Incluye una descripción detallada de cómo se aplican las coordenadas de las estaciones A y B, con una longitud medida de 132.823 metros.

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