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Soluciona todo y explica muy bien el paso a paso del porque y como se hace

Para resolver el problema que pide determinar la salida del muestreador \( x^*(t) \) para cada una de las funciones dadas, necesitamos entender que este muestreador toma muestras de la señal a intervalos de tiempo determinados por el periodo de muestreo \( T \).

El proceso de muestreo se realiza evaluando la función \( x(t) \) en tiempos específicos. Estos tiempos son múltiplos de \( T \), es decir, los instantes de tiempo donde tomamos las muestras están dados por \( t = nT \), donde \( n \) es un número entero (0, 1, 2, ...).

Por lo tanto, para cada función \( x(t) \), calcularemos el valor de la función en estos tiempos \( t = nT \).

Vamos a resolver cada inciso paso a paso:

### a) \( x(t) = 3t \) con \( T = 0.5 \, \text{s} \)
La señal es una función lineal, \( x(t) = 3t \). Para muestrearla, evaluamos esta función en tiempos \( t = nT \), con \( T = 0.5 \, \text{s} \).

- Para \( t = 0 \), \( x(0) = 3(0) = 0 \)
- Para \( t = 0.5 \), \( x(0.5) = 3(0.5) = 1.5 \)
- Para \( t = 1 \), \( x(1) = 3(1) = 3 \)
- Para \( t = 1.5 \), \( x(1.5) = 3(1.5) = 4.5 \)

Entonces, la salida del muestreador es \( x^*(t) = \{0, 1.5, 3, 4.5, \dots\} \).

### b) \( x(t) = \sin(5t) \) con \( T = \frac{\pi}{2} \, \text{s} \)
Para esta señal sinusoidal, evaluamos \( x(t) = \sin(5t) \) en tiempos \( t = nT \) con \( T = \frac{\pi}{2} \).

- Para \( t = 0 \), \( x(0) = \sin(0) = 0 \)
- Para \( t = \frac{\pi}{2} \), \( x\left( \frac{\pi}{2} \right) = \sin\left( 5 \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \sin\left( \frac{5\pi}{2} \right) = 1 \)
- Para \( t = \pi \), \( x(\pi) = \sin(5\pi) = 0 \)
- Para \( t = \frac{3\pi}{2} \), \( x\left( \frac{3\pi}{2} \right) = \sin\left( \frac{15\pi}{2} \right) = -1 \)

La salida del muestreador es \( x^*(t) = \{0, 1, 0, -1, \dots\} \).

### c) \( x(t) = t \sin(4t) \) con \( T = 0.3 \, \text{s} \)
Evaluamos \( x(t) = t \sin(4t) \) en tiempos \( t = nT \), con \( T = 0.3 \, \text{s} \).

- Para \( t = 0 \), \( x(0) = 0 \cdot \sin(0) = 0 \)
- Para \( t = 0.3 \), \( x(0.3) = 0.3 \sin(4 \cdot 0.3) = 0.3 \sin(1.2) \approx 0.3 \cdot 0.932 = 0.2796 \)
- Para \( t = 0.6 \), \( x(0.6) = 0.6 \sin(4 \cdot 0.6) = 0.6 \sin(2.4) \approx 0.6 \cdot 0.675 = 0.405 \)

La salida del muestreador es \( x^*(t) = \{0, 0.2796, 0.405, \dots\} \).

### d) \( x(t) = e^{-3t} \sin(5t) \) con \( T = 0.3 \, \text{s} \)
Evaluamos \( x(t) = e^{-3t} \sin(5t) \) en tiempos \( t = nT \), con \( T = 0.3 \, \text{s} \).

- Para \( t = 0 \), \( x(0) = e^0 \sin(0) = 1 \cdot 0 = 0 \)
- Para \( t = 0.3 \), \( x(0.3) = e^{-3 \cdot 0.3} \sin(5 \cdot 0.3) = e^{-0.9} \sin(1.5) \approx 0.406 \cdot 0.997 = 0.405 \)
- Para \( t = 0.6 \), \( x(0.6) = e^{-3 \cdot 0.6} \sin(5 \cdot 0.6) = e^{-1.8} \sin(3) \approx 0.165 \cdot 0.141 = 0.023 \)

La salida del muestreador es \( x^*(t) = \{0, 0.405, 0.023, \dots\} \).

### e) \( x(t) = 4te^{-4t} \) con \( T = 0.2 \, \text{s} \)
Evaluamos \( x(t) = 4te^{-4t} \) en tiempos \( t = nT \), con \( T = 0.2 \, \text{s} \).

- Para \( t = 0 \), \( x(0) = 4(0)e^{-4(0)} = 0 \)
- Para \( t = 0.2 \), \( x(0.2) = 4(0.2)e^{-4(0.2)} = 0.8 \cdot e^{-0.8} \approx 0.8 \cdot 0.449 = 0.359 \)
- Para \( t = 0.4 \), \( x(0.4) = 4(0.4)e^{-4(0.4)} = 1.6 \cdot e^{-1.6} \approx 1.6 \cdot 0.202 = 0.323 \)

La salida del muestreador es \( x^*(t) = \{0, 0.359, 0.323, \dots\} \).

### f) \( x(t) = 2t^2 \) con \( T = 0.3 \, \text{s} \)
Finalmente, evaluamos \( x(t) = 2t^2 \) en tiempos \( t = nT \), con \( T = 0.3 \, \text{s} \).

- Para \( t = 0 \), \( x(0) = 2(0)^2 = 0 \)
- Para \( t = 0.3 \), \( x(0.3) = 2(0.3)^2 = 2 \cdot 0.09 = 0.18 \)
- Para \( t = 0.6 \), \( x(0.6) = 2(0.6)^2 = 2 \cdot 0.36 = 0.72 \)

La salida del muestreador es \( x^*(t) = \{0, 0.18, 0.72, \dots\} \).

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda sobre alguno de los pasos?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué sucede si el periodo de muestreo \( T \) es más pequeño o más grande?
2. ¿Cómo afecta la frecuencia de la señal original al muestreo?
3. ¿Qué es el teorema de muestreo de Nyquist y cómo se aplica aquí?
4. ¿Cómo se comportan las señales exponenciales en el proceso de muestreo?
5. ¿Qué pasa si la señal no es periódica, como en el caso de las exponenciales?

### Tip: Siempre es importante asegurarse de que la frecuencia de muestreo sea al menos el doble de la frecuencia máxima de la señal para evitar el aliasing.

Determine la salida del muestreador x*(t) para cada una de las siguientes funciones.

Aprende a determinar la salida del muestreador x*(t) para distintas funciones matemáticas, evaluando señales a intervalos de tiempo específicos definidos por el periodo de muestreo T. Incluye ejemplos detallados con funciones lineales, sinusoidales, exponenciales, y cuadráticas.

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