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b) Determine si la función es continua en x = 0 y x = 2

Para determinar si la función \( f(x) \) es continua en \( x = 0 \) y \( x = 2 \), debemos revisar las siguientes condiciones en ambos puntos:

1. **Existencia del límite por la izquierda y por la derecha.**
   \[
   \lim_{{x \to c^-}} f(x) \quad \text{y} \quad \lim_{{x \to c^+}} f(x)
   \]
   donde \( c = 0 \) o \( c = 2 \).

2. **El valor de la función en el punto.**
   \[
   f(c)
   \]

3. **Igualdad del límite con el valor de la función.**
   \[
   \lim_{{x \to c}} f(x) = f(c)
   \]

### Paso 1: Comprobación en \( x = 0 \)

#### 1. Límite cuando \( x \) tiende a 0 por la izquierda (\( x \to 0^- \))
Cuando \( x < 0 \), \( f(x) = x \). Entonces:
\[
\lim_{{x \to 0^-}} f(x) = \lim_{{x \to 0^-}} x = 0
\]

#### 2. Límite cuando \( x \) tiende a 0 por la derecha (\( x \to 0^+ \))
Cuando \( 0 \leq x < 2 \), \( f(x) = x^2 \). Entonces:
\[
\lim_{{x \to 0^+}} f(x) = \lim_{{x \to 0^+}} x^2 = 0^2 = 0
\]

#### 3. Valor de la función en \( x = 0 \)
\[
f(0) = 0^2 = 0
\]

#### 4. Verificación de continuidad en \( x = 0 \)
Los límites por la izquierda y por la derecha son iguales y coinciden con el valor de la función:
\[
\lim_{{x \to 0}} f(x) = 0 = f(0)
\]
Por lo tanto, **\( f(x) \) es continua en \( x = 0 \)**.

### Paso 2: Comprobación en \( x = 2 \)

#### 1. Límite cuando \( x \) tiende a 2 por la izquierda (\( x \to 2^- \))
Cuando \( 0 \leq x < 2 \), \( f(x) = x^2 \). Entonces:
\[
\lim_{{x \to 2^-}} f(x) = \lim_{{x \to 2^-}} x^2 = 2^2 = 4
\]

#### 2. Límite cuando \( x \) tiende a 2 por la derecha (\( x \to 2^+ \))
Cuando \( x > 2 \), \( f(x) = x \). Entonces:
\[
\lim_{{x \to 2^+}} f(x) = \lim_{{x \to 2^+}} x = 2
\]

#### 3. Valor de la función en \( x = 2 \)
\[
f(2) = 2^2 = 4
\]

#### 4. Verificación de continuidad en \( x = 2 \)
Los límites por la izquierda y por la derecha no son iguales:
\[
\lim_{{x \to 2^-}} f(x) = 4 \quad \text{y} \quad \lim_{{x \to 2^+}} f(x) = 2
\]
Dado que los límites laterales son diferentes, **\( f(x) \) no es continua en \( x = 2 \)**.

### Resumen:
- **\( f(x) \) es continua en \( x = 0 \)**.
- **\( f(x) \) no es continua en \( x = 2 \)**.

¿Necesitas más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se comporta la derivada en los puntos donde la función no es continua?
2. ¿Qué tipo de discontinuidad se presenta en \( x = 2 \)?
3. ¿Cómo afectaría una discontinuidad a la integral definida de una función en un intervalo?
4. ¿Podrías modificar la función para que sea continua en \( x = 2 \)?
5. ¿Cuál es la relación entre la continuidad de una función y su gráfica?

**Tip:** Es importante recordar que una función continua en un punto no necesariamente es derivable en ese punto. La derivabilidad requiere condiciones adicionales.

Explore the continuity of a function at points x = 0 and x = 2 through detailed limit calculations and function value verification. Understand the conditions required for a function to be continuous at a point. Suitable for college-level mathematics students.

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