https://r2.erweima.ai/mathbot/image/17239371243481dxuxi1v.jpg

a) Determinar el valor de m y n para que la función sea continua en x = 3.


Para que la función \( f(x) \) sea continua en \( x = 3 \), deben cumplirse las siguientes condiciones:

1. **Condición 1: Existencia del límite por la izquierda y por la derecha.**
   \[
   \lim_{{x \to 3^-}} f(x) = \lim_{{x \to 3^+}} f(x)
   \]
   
2. **Condición 2: El valor de la función en \( x = 3 \) debe coincidir con el límite.**
   \[
   \lim_{{x \to 3}} f(x) = f(3)
   \]

### Paso 1: Límite cuando \( x \) tiende a 3 por la izquierda (\( x \to 3^- \))

Cuando \( x < 3 \), \( f(x) = mx \). Entonces:
\[
\lim_{{x \to 3^-}} f(x) = \lim_{{x \to 3^-}} mx = 3m
\]

### Paso 2: Límite cuando \( x \) tiende a 3 por la derecha (\( x \to 3^+ \))

Cuando \( x > 3 \), \( f(x) = -2x + 9 \). Entonces:
\[
\lim_{{x \to 3^+}} f(x) = \lim_{{x \to 3^+}} (-2x + 9) = -2(3) + 9 = -6 + 9 = 3
\]

### Paso 3: Igualar los límites laterales para la continuidad
Para que \( f(x) \) sea continua en \( x = 3 \), los límites por la izquierda y por la derecha deben ser iguales:
\[
3m = 3
\]
De aquí se obtiene que:
\[
m = 1
\]

### Paso 4: Igualar el límite al valor de la función en \( x = 3 \)
Para que la función sea continua, el valor de la función en \( x = 3 \) debe ser igual al límite calculado:
\[
n = \lim_{{x \to 3}} f(x) = 3
\]

### Respuesta final:
Los valores de \( m \) y \( n \) para que la función sea continua en \( x = 3 \) son:
\[
m = 1 \quad \text{y} \quad n = 3
\]

¿Quieres más detalles o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué condiciones adicionales debe cumplir una función para ser diferenciable en un punto?
2. ¿Cómo afecta la discontinuidad de una función a su derivada?
3. ¿Podrías encontrar la derivada de la función \( f(x) \) si ya sabes que es continua?
4. ¿Cómo se interpretan las discontinuidades removibles y esenciales en funciones definidas a tramos?
5. ¿Cuál es el criterio para que una función definida a tramos sea derivable en un punto de unión?

**Tip:** Cuando trabajas con funciones definidas por partes, asegúrate de verificar tanto la continuidad como la derivabilidad si es necesario para problemas más avanzados.

Explore how to determine values of m and n to ensure continuity of a function at x = 3. This problem involves understanding limits, continuity conditions, and solving equations. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation