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determina los 5 complejos de su forma a+bi

La imagen muestra un círculo en el plano complejo con 5 puntos distribuidos de manera regular a lo largo de su circunferencia, etiquetados como \( w_0, w_1, w_2, w_3, w_4 \). El radio del círculo es 2 y el ángulo central entre dos puntos consecutivos es \( 48^\circ \), ya que cada ángulo interior en un pentágono regular se puede obtener dividiendo \( 360^\circ \) entre el número de vértices (5).

Los puntos \( w_0, w_1, w_2, w_3, w_4 \) representan las raíces de la unidad multiplicadas por el radio 2, lo que significa que se pueden expresar en forma de números complejos de la siguiente manera:

\[
w_k = 2 \cdot e^{i \cdot \theta_k}
\]
donde \( \theta_k \) es el ángulo correspondiente a cada vértice. Estos ángulos son múltiplos de \( 48^\circ \) o \( \frac{48 \pi}{180} \) radianes.

### Paso 1: Calcular los valores de \( \theta_k \)
Los ángulos para los 5 vértices son:

\[
\theta_0 = 0^\circ, \quad \theta_1 = 48^\circ, \quad \theta_2 = 96^\circ, \quad \theta_3 = 144^\circ, \quad \theta_4 = 192^\circ
\]

Estos se pueden convertir a radianes:

\[
\theta_1 = \frac{48 \pi}{180} \approx 0.8378 \text{ rad}, \quad \theta_2 = \frac{96 \pi}{180} \approx 1.6755 \text{ rad}, \quad \theta_3 = \frac{144 \pi}{180} \approx 2.513 \text{ rad}, \quad \theta_4 = \frac{192 \pi}{180} \approx 3.351 \text{ rad}
\]

### Paso 2: Encontrar los valores en forma \( a + bi \)

Los números complejos están en la forma \( 2 \cdot (\cos(\theta_k) + i \sin(\theta_k)) \). Ahora calculamos cada uno.

\[
w_0 = 2 \cdot (\cos(0) + i \sin(0)) = 2 + 0i
\]

\[
w_1 = 2 \cdot (\cos(48^\circ) + i \sin(48^\circ)) \approx 2 \cdot (0.6691 + i \cdot 0.7431) \approx 1.3382 + 1.4862i
\]

\[
w_2 = 2 \cdot (\cos(96^\circ) + i \sin(96^\circ)) \approx 2 \cdot (-0.1045 + i \cdot 0.9945) \approx -0.209 + 1.989i
\]

\[
w_3 = 2 \cdot (\cos(144^\circ) + i \sin(144^\circ)) \approx 2 \cdot (-0.809 + i \cdot 0.5878) \approx -1.618 + 1.176i
\]

\[
w_4 = 2 \cdot (\cos(192^\circ) + i \sin(192^\circ)) \approx 2 \cdot (-0.9781 + i \cdot -0.2079) \approx -1.956 + (-0.416i)
\]

### Resultado Final:

Los números complejos en forma \( a + bi \) son:

\[
w_0 = 2 + 0i
\]
\[
w_1 \approx 1.3382 + 1.4862i
\]
\[
w_2 \approx -0.209 + 1.989i
\]
\[
w_3 \approx -1.618 + 1.176i
\]
\[
w_4 \approx -1.956 - 0.416i
\]

¿Te gustaría más detalles sobre cómo se calcularon los ángulos o alguna explicación adicional?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula el ángulo en radianes a partir de grados?
2. ¿Qué son las raíces de la unidad en el plano complejo?
3. ¿Cómo se aplica la fórmula \( e^{i\theta} \) para encontrar puntos en el círculo?
4. ¿Cuál es la importancia del pentágono en este tipo de problemas?
5. ¿Cómo se relacionan las coordenadas polares con los números complejos?

### Tip:
Cuando trabajas con ángulos en el plano complejo, es útil recordar la conversión entre grados y radianes para evitar errores en los cálculos.

Solve a problem involving the determination of 5 complex numbers in the form a + bi, where the points are distributed evenly on a circle with radius 2. This includes the use of polar coordinates, roots of unity, and conversion from degrees to radians.

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