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El número complejo representado en la siguiente gráfica es una raíz cuadrada del número  z

Encuentra otra raíz cuadrada de  z
 . Escríbela en forma polar y en forma binómica.

La imagen que has proporcionado muestra un número complejo representado en un plano polar. Para resolver el problema, vamos a seguir estos pasos:

1. **Identificar la raíz cuadrada mostrada en la gráfica:**
   - Observa que la representación gráfica es de un número complejo con una magnitud (módulo) y un ángulo (argumento).

2. **Calcular la raíz cuadrada opuesta:**
   - Dado que \( z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) \), las raíces cuadradas de \( z \) se obtienen usando la fórmula:
     \[
     \sqrt{z} = \sqrt{r}\left(\cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{2}\right)\right)
     \]
     donde \( k = 0 \) y \( k = 1 \).

Ahora, procedemos a extraer los datos de la imagen para encontrar la segunda raíz cuadrada del número complejo \( z \).

### 1. Determinar el número complejo en la gráfica:
- El radio parece ser 4 unidades.
- El ángulo parece ser cercano a 45° o \(\frac{\pi}{4}\) radianes.

Entonces, la raíz mostrada puede representarse como:
\[ \sqrt{z} = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) \]

### 2. Calcular la otra raíz cuadrada:
- Usamos \( k = 1 \) en la fórmula:
\[
\sqrt{z}_2 = 2\left(\cos\left(\frac{\pi + 2\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 2\pi}{4}\right)\right)
\]
Esto se simplifica a:
\[
\sqrt{z}_2 = 2\left(\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)\right)
\]
En forma binómica:
\[
\sqrt{z}_2 = 2\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\sqrt{2} - i\sqrt{2}
\]

### Respuestas Finales:
- **Forma polar**: \(\sqrt{z}_2 = 2\left(\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)\right)\)
- **Forma binómica**: \(\sqrt{z}_2 = -\sqrt{2} - i\sqrt{2}\)

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

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### Tip:
Recuerda que para cada número complejo, existen exactamente dos raíces cuadradas, diferenciadas por un ángulo de \(\pi\) radianes en el plano complejo.

Discover how to find another square root of a complex number in both polar and binomial forms. This problem explores complex number theory, including the use of polar coordinates and square root formulas. Suitable for advanced high school students and beyond.

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