revisa si la sucesión es convergente o divergente por los 5 primeros términos: d. 𝒂n = −√𝟐𝟎 − n (√n)

Para determinar si la sucesión \( a_n = -\sqrt{20 - n} \cdot \sqrt{n} \) es convergente o divergente, calcularemos los primeros cinco términos de la sucesión y analizaremos su comportamiento a medida que \( n \) tiende a infinito.

### Calculando los primeros cinco términos

Calculemos los términos de la sucesión para \( n = 1, 2, 3, 4, 5 \):

1. **Para \( n = 1 \):**
   \[
   a_1 = -\sqrt{20 - 1} \cdot \sqrt{1} = -\sqrt{19} \cdot 1 = -\sqrt{19} \approx -4.36
   \]

2. **Para \( n = 2 \):**
   \[
   a_2 = -\sqrt{20 - 2} \cdot \sqrt{2} = -\sqrt{18} \cdot \sqrt{2} = -\sqrt{36} = -6
   \]

3. **Para \( n = 3 \):**
   \[
   a_3 = -\sqrt{20 - 3} \cdot \sqrt{3} = -\sqrt{17} \cdot \sqrt{3} \approx -4.12 \cdot 1.73 \approx -7.13
   \]

4. **Para \( n = 4 \):**
   \[
   a_4 = -\sqrt{20 - 4} \cdot \sqrt{4} = -\sqrt{16} \cdot 2 = -4 \cdot 2 = -8
   \]

5. **Para \( n = 5 \):**
   \[
   a_5 = -\sqrt{20 - 5} \cdot \sqrt{5} = -\sqrt{15} \cdot \sqrt{5} \approx -3.87 \cdot 2.24 \approx -8.67
   \]

### Observación de los términos iniciales

Los primeros cinco términos son aproximadamente: 
\[
-4.36, -6, -7.13, -8, -8.67
\]

Podemos observar que los términos están disminuyendo en valor a medida que \( n \) aumenta.

### Análisis del comportamiento de la sucesión

Para determinar si la sucesión es convergente o divergente, evaluamos su comportamiento cuando \( n \) tiende a infinito.

Consideremos la expresión general:
\[
a_n = -\sqrt{20 - n} \cdot \sqrt{n}
\]

A medida que \( n \) tiende a infinito:
- El término \( 20 - n \) se vuelve negativo cuando \( n > 20 \), y la raíz cuadrada de un número negativo no es real en el conjunto de los números reales. Sin embargo, si consideramos sólo los valores de \( n \leq 20 \), la expresión sigue siendo real.
- Cuando \( n \) se acerca a 20, \( \sqrt{20 - n} \) tiende a 0, pero \( \sqrt{n} \) sigue aumentando.

Si seguimos más allá de \( n > 20 \), entonces el término \( \sqrt{20 - n} \) se volvería complejo. Pero como estamos trabajando con números reales, esto indica que la sucesión deja de ser válida en el dominio real.

Cuando \( n \) está en el rango de \( 1 \) a \( 20 \), a medida que \( n \) se aproxima a \( 20 \), la magnitud de \( \sqrt{20 - n} \) tiende a cero, pero se multiplica por un número \( \sqrt{n} \) que crece indefinidamente. Así, podemos ver que en el límite, para \( n \to 20^- \), el término tenderá a cero ya que el producto de algo que tiende a cero (aunque el segundo término tiende a un número grande) sigue tendiendo a cero más rápido.

### Conclusión

La sucesión \( a_n = -\sqrt{20 - n} \cdot \sqrt{n} \) **no es convergente en los números reales** cuando \( n > 20 \). Pero si tomamos valores de \( n \leq 20 \), la sucesión tiende a un comportamiento cada vez más negativo y se acerca a cero en términos de límite, pero no converge a un número finito.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se define el límite de una sucesión?
2. ¿Qué sucede con las sucesiones que contienen raíces cuadradas de números negativos?
3. ¿Cómo afecta la combinación de términos crecientes y decrecientes a la convergencia de una sucesión?
4. ¿Qué métodos pueden utilizarse para probar la convergencia de sucesiones más complejas?
5. ¿Cómo se comportan las sucesiones en el dominio complejo?

**Tip:** Siempre verifica el dominio de los términos de una sucesión antes de asumir su convergencia o divergencia.

Learn how to determine if a sequence is convergent or divergent by analyzing its first five terms. This problem involves calculating terms of a sequence and analyzing their behavior as n tends to infinity. Suitable for university-level mathematics.

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