un=(-1)n.n/n+1   n€N la suite semble t elle convergente? quelle semble etre leur limite? vérifie la valeur trouvée en calculant u100 et u150

La suite donnée est :

\[
u_n = \frac{(-1)^n \cdot n}{n + 1}, \quad \text{avec} \, n \in \mathbb{N}.
\]

### 1. Convergence de la suite

Analysons le comportement de la suite \( u_n \) pour des valeurs de \( n \) qui tendent vers l'infini.

\[
u_n = \frac{(-1)^n \cdot n}{n + 1}.
\]

Lorsque \( n \) devient très grand, on peut approximer l'expression \( n + 1 \) par \( n \), car \( n+1 \approx n \) pour de grandes valeurs de \( n \). Ainsi, la suite peut être réécrite comme :

\[
u_n \approx \frac{(-1)^n \cdot n}{n} = (-1)^n.
\]

Cela signifie que pour des valeurs de \( n \) très grandes, la suite alterne entre les valeurs \( 1 \) (pour \( n \) pair) et \( -1 \) (pour \( n \) impair). Par conséquent, la suite ne semble pas converger vers une seule valeur, mais oscille entre \( 1 \) et \( -1 \).

**Conclusion** : La suite ne semble pas convergente, car elle oscille entre deux valeurs distinctes \( 1 \) et \( -1 \).

### 2. Vérification avec \( u_{100} \) et \( u_{150} \)

Calculons maintenant les valeurs de \( u_{100} \) et \( u_{150} \) pour vérifier ce comportement :

- Pour \( n = 100 \) (pair) :
\[
u_{100} = \frac{(-1)^{100} \cdot 100}{100 + 1} = \frac{100}{101} \approx 0.9901.
\]

- Pour \( n = 150 \) (pair) :
\[
u_{150} = \frac{(-1)^{150} \cdot 150}{150 + 1} = \frac{150}{151} \approx 0.9934.
\]

Ces deux valeurs confirment que la suite se rapproche de \( 1 \) pour les valeurs de \( n \) paires.

### Conclusion finale

- La suite **n'est pas convergente** car elle oscille entre des valeurs proches de \( 1 \) et \( -1 \).
- La limite n'existe pas, car la suite alterne entre deux valeurs.

Souhaitez-vous des détails supplémentaires sur cette suite ou des explications plus approfondies ?

---

### Questions associées :

1. Comment prouver rigoureusement qu'une suite ne converge pas ?
2. Quelle est la différence entre une suite convergente et une suite divergente ?
3. Quelle est la définition formelle d'une limite de suite oscillante ?
4. Comment représenter graphiquement une suite oscillante ?
5. Comment calculer la limite supérieure et inférieure d'une suite non convergente ?

### Astuce :
Lorsque vous analysez la convergence d'une suite, vérifiez si elle alterne de signe ou oscille entre deux valeurs avant de conclure qu'elle ne converge pas.

un = (-1)^n * n / (n + 1), n ∈ N. La suite semble-t-elle convergente? Quelle semble être leur limite? Vérifie la valeur trouvée en calculant u100 et u150.

Explore the behavior of the sequence un = (-1)^n * n / (n + 1). Is the sequence convergent or divergent? Calculate u100 and u150 to verify the analysis of its oscillating nature. This solution is suitable for advanced high school or undergraduate mathematics students.

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