On définit la suite (un) uo = -1 par Un+1=24n+1 et la suite (vn) par vn = un-2

1) Calculer U1, U2, U3 et 4. (un) est-elle arithmétique? géométrique ? Pourquoi ? 2) Démontrer que (vn) est géométrique, donner son premièr terme et sa raison.

En déduire que que pour tout ne IN,

Un = (-3)x

3) Démontrer que (un) est croissante et converge vers 2.

Exercice 3:

+2.

### Exercice 1

On a la suite définie par \( u_0 = -1 \) et \( u_{n+1} = 24u_n + 1 \).

#### 1) Calcul de \( u_1 \), \( u_2 \), \( u_3 \) et \( u_4 \)

On utilise la relation de récurrence pour calculer les premiers termes de la suite \( u_n \).

- \( u_0 = -1 \)
- \( u_1 = 24u_0 + 1 = 24 \times (-1) + 1 = -24 + 1 = -23 \)
- \( u_2 = 24u_1 + 1 = 24 \times (-23) + 1 = -552 + 1 = -551 \)
- \( u_3 = 24u_2 + 1 = 24 \times (-551) + 1 = -13224 + 1 = -13223 \)
- \( u_4 = 24u_3 + 1 = 24 \times (-13223) + 1 = -317352 + 1 = -317351 \)

Les termes calculés sont donc :
\[
u_1 = -23, \quad u_2 = -551, \quad u_3 = -13223, \quad u_4 = -317351.
\]

#### (un) est-elle arithmétique ou géométrique ?

- Une suite est **arithmétique** si la différence entre deux termes consécutifs est constante. Or ici, \( u_{n+1} = 24u_n + 1 \), donc il n'y a pas une différence constante entre les termes.
  
- Une suite est **géométrique** si le rapport entre deux termes consécutifs est constant. Or ici, il n'y a pas de rapport constant entre \( u_{n+1} \) et \( u_n \) car la suite est définie par une relation affine avec un terme supplémentaire (+1).

Par conséquent, la suite \( u_n \) n'est ni arithmétique ni géométrique.

---

#### 2) Démontrer que \( (v_n) \) est géométrique

La suite \( v_n \) est définie par \( v_n = u_n - 2 \).

On exprime \( v_n \) à partir de \( u_{n+1} = 24u_n + 1 \) :
\[
v_{n+1} = u_{n+1} - 2 = (24u_n + 1) - 2 = 24u_n - 1 = 24(v_n + 2) - 1 = 24v_n + 48 - 1 = 24v_n + 47.
\]

On voit que la relation entre \( v_{n+1} \) et \( v_n \) est linéaire, donc cela ne permet pas de démontrer que \( v_n \) est géométrique.

(je vais compléter plus plus tarde)



On définit la suite (un) u0 = -1 par Un+1=24n+1 et la suite (vn) par vn = un-2

1) Calculer U1, U2, U3 et 4. (un) est-elle arithmétique? géométrique ? Pourquoi ? 
2) Démontrer que (vn) est géométrique, donner son premièr terme et sa raison.

En déduire que que pour tout n ∈ IN,

Un = (-3)x

3) Démontrer que (un) est croissante et converge vers 2.

Learn how to calculate terms in a sequence, determine if it's arithmetic or geometric, and prove that the sequence converges. This problem covers advanced sequence concepts, suitable for students in Grades 11-12.

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