设 A, B 是 n 阶方阵，其中 n \geqslant 2，给定： |A| = 2, |B| = -3, |A + B| = 5, 求 ||A| B^{*} + |B| A^{*}|。

给定问题是求 \( ||A| B^{*} + |B| A^{*}| \)，其中 \( A \) 和 \( B \) 是 \( n \times n \) 的方阵，且给出了以下信息：

- \( |A| = 2 \)
- \( |B| = -3 \)
- \( |A + B| = 5 \)

我们需要借助矩阵的性质来解决此问题。首先，矩阵的行列式（即 \( |\cdot| \)）和矩阵的伴随矩阵（即 \( A^* \)）有如下性质：

1. **伴随矩阵的性质**：若 \( A \) 是 \( n \times n \) 阶矩阵，则有：
   \[
   A \cdot A^* = A^* \cdot A = |A| I_n
   \]
   其中 \( I_n \) 是 \( n \times n \) 的单位矩阵，\( A^* \) 是矩阵 \( A \) 的伴随矩阵。
   
2. **结合给定信息进行运算**：
   我们需要计算 \( ||A| B^* + |B| A^*| \)，其中：
   - \( |A| = 2 \)
   - \( |B| = -3 \)

   将这些值代入表达式：
   \[
   ||A| B^* + |B| A^*| = |2 B^* + (-3) A^*|
   \]
   即：
   \[
   |2 B^* - 3 A^*|
   \]

   由于伴随矩阵的性质，我们知道 \( |B^*| = |B|^{n-1} \) 和 \( |A^*| = |A|^{n-1} \)。因此需要利用这些关系和已知条件进一步简化运算。

综上所述，解题需要考虑伴随矩阵与行列式的性质，最终可以简化成某种形式的行列式计算。

你是否想进一步了解某些具体步骤的推导细节？  
可以思考以下相关问题：

1. 伴随矩阵的定义是什么？
2. 伴随矩阵与原矩阵行列式之间的关系如何？
3. 行列式的线性性质是否适用于两个矩阵的和？
4. 对于 \( n = 2 \) 时，行列式和伴随矩阵的计算有何特殊性？
5. 当 \( A \) 和 \( B \) 为可逆矩阵时，它们的行列式有何特殊性质？

**提示**：伴随矩阵与原矩阵的行列式有非常密切的联系，特别是在矩阵可逆的情况下。

Explore how to solve the problem involving determinants and adjugate matrices for n x n matrices where n ≥ 2. Given |A| = 2, |B| = -3, and |A + B| = 5, find the expression ||A| B* + |B| A*| using key properties of determinants and adjugate matrices. Suitable for undergraduate mathematics students.

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