Uma matriz quadrada A de 3 ordem é tal que A2= 2.A. Se B é uma matriz quadrada de mesma ordem de A e det (A.B) = 80, calcule o valor de det B.

Dada a matriz quadrada \( A \) de ordem 3, sabemos que \( A^2 = 2A \). Além disso, sabemos que \( B \) é uma matriz quadrada da mesma ordem de \( A \) e que \( \det(A \cdot B) = 80 \). Precisamos calcular o valor de \( \det(B) \).

### Passo 1: Análise da relação \( A^2 = 2A \)
A expressão \( A^2 = 2A \) pode ser rearranjada como:

\[
A^2 - 2A = 0
\]

ou

\[
A(A - 2I) = 0
\]

onde \( I \) é a matriz identidade de ordem 3.

Isso significa que \( A \) pode ser uma matriz singular ou que \( A = 2I \).

### Passo 2: Determinante de \( A \)
Caso \( A = 2I \):

\[
\det(A) = \det(2I) = 2^3 = 8
\]

No caso de \( A \) ser singular, o determinante seria zero, mas, como \( \det(A \cdot B) = 80 \), \( A \) não pode ser singular. Portanto, \( A = 2I \).

### Passo 3: Determinante de \( A \cdot B \)
Sabemos que:

\[
\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)
\]

Substituindo os valores conhecidos:

\[
\det(2I \cdot B) = 8 \cdot \det(B) = 80
\]

### Passo 4: Resolvendo para \( \det(B) \)
Isolando \( \det(B) \):

\[
\det(B) = \frac{80}{8} = 10
\]

Portanto, o valor de \( \det(B) \) é \( \boxed{10} \).

---

Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida sobre o processo? Aqui estão algumas perguntas relacionadas:

1. O que significa uma matriz ser singular?
2. Como se define o determinante de uma matriz?
3. Por que o determinante de \( A \) sendo zero indicaria que \( A \) é singular?
4. Qual a importância do determinante em sistemas lineares?
5. Como a relação \( A^2 = 2A \) influencia as propriedades de \( A \)?
6. Como seria a solução se \( A \) não fosse a matriz identidade escalonada?
7. Como a multiplicação de matrizes afeta seus determinantes?
8. Qual é a importância das matrizes diagonais no cálculo de determinantes?

**Dica:** Para qualquer matriz \( A \), se \( A \) for invertível, \( \det(A) \) é diferente de zero.

Learn how to calculate the determinant of matrix B when given that matrix A is a 3x3 matrix satisfying A^2 = 2A and det(A·B) = 80. Understand the properties of determinants and their application in matrix algebra.

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