Dada la matriz de orden 3x3 A=[1,2,-1,2,3,k,1,-1,2] a) hallar k tal que |1/3. (A^3)^t|=-1 b)para ese valor de k, hallar A^-1y verificar que |A^-1|=1/|A|

Para resolver este problema, desglosaremos el ejercicio en sus dos partes:

### Parte a) Hallar \( k \) tal que \(\left|\frac{1}{3} \cdot (A^3)^t\right| = -1\)

Dada la matriz \( A \) de orden \( 3 \times 3 \):

\[
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & k \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}
\]

1. **Calcular \( A^3 \)**: Primero necesitamos calcular \( A^3 \). Esto se hace multiplicando la matriz \( A \) por sí misma tres veces:
   \[
   A^2 = A \cdot A
   \]
   y luego
   \[
   A^3 = A^2 \cdot A
   \]

2. **Calcular la traspuesta de \( A^3 \)**: Una vez que se tiene \( A^3 \), calculamos su traspuesta \( (A^3)^t \).

3. **Multiplicar por \( \frac{1}{3} \)**: Calculamos \( \frac{1}{3} \cdot (A^3)^t \).

4. **Calcular el determinante**: Finalmente, calculamos el determinante de la matriz resultante y lo igualamos a \(-1\), resolviendo para \( k \).

### Parte b) Hallar \( A^{-1} \) y verificar que \( \left|A^{-1}\right| = \frac{1}{|A|} \) para el valor de \( k \) encontrado.

1. **Calcular \( |A| \)**: Calculamos el determinante de \( A \) con el valor de \( k \) encontrado en la parte a).

2. **Calcular \( A^{-1} \)**: Utilizamos la fórmula para la matriz inversa de una matriz \( 3 \times 3 \):

   \[
   A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{Adj}(A)
   \]
   donde \( \text{Adj}(A) \) es la adjunta de \( A \).

3. **Calcular \( |A^{-1}| \)**: Calculamos el determinante de \( A^{-1} \).

4. **Verificar la relación**: Verificamos que \( \left|A^{-1}\right| = \frac{1}{|A|} \).

Voy a proceder a realizar estos cálculos.Los valores de \( k \) que satisfacen la ecuación \(\left|\frac{1}{3} \cdot (A^3)^t\right| = -1\) son:

\[
k = -2
\]

y dos valores complejos:

\[
k = -0.5 - 0.866i \quad \text{y} \quad k = -0.5 + 0.866i
\]

Dado que generalmente se busca un valor real de \( k \), tomaremos \( k = -2 \).

### Parte b) Calcular \( A^{-1} \) y verificar la relación entre \( \left|A^{-1}\right| \) y \( |A| \) para \( k = -2 \).

Voy a proceder con estos cálculos.Para \( k = -2 \):

- El determinante de \( A \) es \( |A| = -3 \).
- El determinante de la matriz inversa \( A^{-1} \) es \( |A^{-1}| = -\frac{1}{3} \).

Verificamos que \( |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \), lo cual es correcto ya que:

\[
|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}
\]

Esto confirma que la relación es válida.

### ¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula la adjunta de una matriz?
2. ¿Qué propiedades tiene la traspuesta de una matriz?
3. ¿Cómo se interpretan los valores complejos de \( k \) en este contexto?
4. ¿Cuál es la importancia del determinante en la inversa de una matriz?
5. ¿Qué ocurre si \( |A| = 0 \)?

**Tip:** Al calcular \( A^{-1} \), es fundamental que el determinante de \( A \) no sea cero, ya que una matriz no tiene inversa si su determinante es cero.

Learn how to solve a 3x3 matrix equation involving determinants and inverses. This problem explores finding the value of k in a given matrix A=[1,2,-1; 2,3,k; 1,-1,2] such that |1/3 * (A^3)^t| = -1. Verify A^-1 and check if |A^-1| = 1/|A|. Suitable for advanced college-level students.

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