dada las matrices A = (3+7i 0 ; 2i 4-i) y B=(1+i 1-i ; 1-i 1+i) obtenga la determinante (AB-2B)

Para obtener el determinante de la matriz \( AB - 2B \), primero necesitamos calcular el producto \( AB \) y luego la expresión completa \( AB - 2B \). Finalmente, calcularemos su determinante.

Dadas las matrices:

\[
A = \begin{pmatrix} 3 + 7i & 0 \\ 2i & 4 - i \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 + i & 1 - i \\ 1 - i & 1 + i \end{pmatrix}
\]

### Paso 1: Calcular \( AB \) (producto de \( A \) y \( B \)).

El producto de dos matrices \( A \) y \( B \) se obtiene mediante la fórmula estándar para la multiplicación de matrices:

\[
AB = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{pmatrix}
\]

Calculemos \( AB \):

\[
AB = \begin{pmatrix} (3 + 7i)(1 + i) + 0(1 - i) & (3 + 7i)(1 - i) + 0(1 + i) \\ (2i)(1 + i) + (4 - i)(1 - i) & (2i)(1 - i) + (4 - i)(1 + i) \end{pmatrix}
\]

Simplifiquemos cada elemento:

- \( (3 + 7i)(1 + i) = 3(1 + i) + 7i(1 + i) = 3 + 3i + 7i - 7 = -4 + 10i \)
- \( (3 + 7i)(1 - i) = 3(1 - i) + 7i(1 - i) = 3 - 3i + 7i + 7 = 10 + 4i \)
- \( (2i)(1 + i) = 2i + 2i^2 = 2i - 2 = -2 + 2i \)
- \( (4 - i)(1 - i) = 4(1 - i) - i(1 - i) = 4 - 4i - i + i^2 = 4 - 5i - 1 = 3 - 5i \)
- \( (2i)(1 - i) = 2i - 2i^2 = 2i + 2 = 2 + 2i \)
- \( (4 - i)(1 + i) = 4(1 + i) - i(1 + i) = 4 + 4i - i - i^2 = 4 + 3i + 1 = 5 + 3i \)

Por lo tanto, la matriz \( AB \) es:

\[
AB = \begin{pmatrix} -4 + 10i & 10 + 4i \\ -2 + 2i & 5 + 3i \end{pmatrix}
\]

### Paso 2: Calcular \( AB - 2B \).

Multipliquemos la matriz \( B \) por 2:

\[
2B = 2 \begin{pmatrix} 1 + i & 1 - i \\ 1 - i & 1 + i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 2i & 2 - 2i \\ 2 - 2i & 2 + 2i \end{pmatrix}
\]

Ahora, restemos \( 2B \) de \( AB \):

\[
AB - 2B = \begin{pmatrix} -4 + 10i & 10 + 4i \\ -2 + 2i & 5 + 3i \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 + 2i & 2 - 2i \\ 2 - 2i & 2 + 2i \end{pmatrix}
\]

Realizando la resta:

\[
AB - 2B = \begin{pmatrix} (-4 + 10i) - (2 + 2i) & (10 + 4i) - (2 - 2i) \\ (-2 + 2i) - (2 - 2i) & (5 + 3i) - (2 + 2i) \end{pmatrix}
\]

Simplifiquemos cada elemento:

\[
AB - 2B = \begin{pmatrix} -6 + 8i & 8 + 6i \\ -4 + 4i & 3 + i \end{pmatrix}
\]

### Paso 3: Calcular el determinante de \( AB - 2B \).

El determinante de una matriz \( 2 \times 2 \), dada por \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), se calcula como:

\[
\det(AB - 2B) = ad - bc
\]

Con los elementos de la matriz:

- \( a = -6 + 8i \)
- \( b = 8 + 6i \)
- \( c = -4 + 4i \)
- \( d = 3 + i \)

Entonces:

\[
\det(AB - 2B) = (-6 + 8i)(3 + i) - (8 + 6i)(-4 + 4i)
\]

Calculemos cada producto:

- \( (-6 + 8i)(3 + i) = -18 - 6i + 24i + 8i^2 = -18 + 18i - 8 = -26 + 18i \)
- \( (8 + 6i)(-4 + 4i) = -32 + 32i - 24i + 24i^2 = -32 + 8i - 24 = -56 + 8i \)

Por lo tanto:

\[
\det(AB - 2B) = (-26 + 18i) - (-56 + 8i) = -26 + 18i + 56 - 8i = 30 + 10i
\]

### Resultado:

El determinante de \( AB - 2B \) es:

\[
\det(AB - 2B) = 30 + 10i
\]

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna duda sobre los pasos?

---

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

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5. ¿Cómo afectan las transformaciones lineales a los determinantes?

**Tip**: El determinante de una matriz cuadrada es un valor escalar que puede indicar si la matriz es invertible (cuando el determinante es distinto de 0).

Learn how to calculate the determinant of (AB - 2B) for the matrices A = (3 + 7i 0 ; 2i 4 - i) and B = (1 + i 1 - i ; 1 - i 1 + i). This problem covers matrix multiplication, complex number arithmetic, and determinant calculation, suitable for undergraduate linear algebra students.

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