por favor realiza la recta tangente de f(x) = \frac{x^2 + 1}{(x + 2)^2}

Para encontrar la ecuación de la **recta tangente** a la función \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{(x + 2)^2} \) en un punto específico \( x = a \), debemos seguir estos pasos:

### Paso 1: Derivar la función \( f(x) \)
La recta tangente en \( x = a \) tiene la forma \( y = f'(a)(x - a) + f(a) \), por lo que necesitamos encontrar la derivada de la función \( f(x) \).

Dado que la función es un cociente de dos funciones, utilizamos la **regla del cociente**:

\[
f(x) = \frac{x^2 + 1}{(x + 2)^2}
\]

La regla del cociente establece que:

\[
f'(x) = \frac{(v(x)u'(x) - u(x)v'(x))}{(v(x))^2}
\]

donde:
- \( u(x) = x^2 + 1 \) y \( u'(x) = 2x \)
- \( v(x) = (x + 2)^2 \) y \( v'(x) = 2(x + 2) \)

Sustituyendo en la fórmula:

\[
f'(x) = \frac{((x + 2)^2(2x) - (x^2 + 1)(2(x + 2)))}{(x + 2)^4}
\]

### Paso 2: Simplificar la derivada
Ahora, simplifiquemos el numerador y el denominador:

\[
f'(x) = \frac{2x(x + 2)^2 - 2(x^2 + 1)(x + 2)}{(x + 2)^4}
\]

Simplificamos aún más:

\[
f'(x) = \frac{2(x + 2)\left[ x(x + 2) - (x^2 + 1) \right]}{(x + 2)^4}
\]

Cancelamos \( (x + 2) \) en el numerador y el denominador:

\[
f'(x) = \frac{2(x(x + 2) - (x^2 + 1))}{(x + 2)^3}
\]

Simplificamos el numerador:

\[
f'(x) = \frac{2(x^2 + 2x - x^2 - 1)}{(x + 2)^3}
\]

Finalmente, queda:

\[
f'(x) = \frac{2(2x - 1)}{(x + 2)^3}
\]

### Paso 3: Ecuación de la recta tangente
La recta tangente en \( x = a \) tiene la forma:

\[
y = f'(a)(x - a) + f(a)
\]

Si necesitas el valor de la tangente en un punto específico \( a \), dime el valor de \( a \) y lo calculo para ti.

¿Te gustaría que resolviéramos para algún punto específico? Si no, puedo continuar generalizando la ecuación de la tangente.

---

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica la regla del producto para derivar una función?
2. ¿Qué diferencias hay entre la regla del cociente y la regla del producto?
3. ¿Cómo afecta el denominador en una función racional al comportamiento de su derivada?
4. ¿Cuál es el significado geométrico de la derivada en un punto?
5. ¿Cómo se puede interpretar la segunda derivada de una función racional?

### Tip:
Al simplificar derivadas de cocientes, busca oportunidades para cancelar términos comunes en numerador y denominador.

Aprende a calcular la derivada y la ecuación de la recta tangente de la función f(x) = \frac{x^2 + 1}{(x + 2)^2}. Este problema cubre conceptos de cálculo, como la regla del cociente y la derivada de funciones racionales. Apto para estudiantes de 11º a 12º grado.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation