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La pregunta que has subido involucra el cálculo de derivadas parciales y el modelo del plano tangente de una función de dos variables. Te guiaré a través de cada paso.

La función dada es:

\[
f(x, y) = \sqrt{e^{x^2} - 2 + e^{2y} + 2}
\]

### Paso 1: Calcular la derivada parcial de \( f(x, y) \) respecto a \( x \)

Usamos la regla de la cadena para derivar respecto a \( x \). La función es un compuesto con una raíz cuadrada, así que derivaremos la función interior primero.

\[
f(x, y) = \sqrt{e^{x^2} + e^{2y}}
\]

Derivada parcial respecto a \( x \):

\[
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2} (e^{x^2} + e^{2y})^{-1/2} \cdot 2x e^{x^2}
\]

Simplificando:

\[
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x e^{x^2}}{\sqrt{e^{x^2} + e^{2y}}}
\]

Ahora, evaluamos en el punto \( (2, 0) \):

\[
\frac{\partial f}{\partial x} (2, 0) = \frac{2 e^{4}}{\sqrt{e^{4} + 1}}
\]

### Paso 2: Calcular la derivada parcial de \( f(x, y) \) respecto a \( y \)

Para la derivada parcial respecto a \( y \), también aplicamos la regla de la cadena:

\[
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} (e^{x^2} + e^{2y})^{-1/2} \cdot 2 e^{2y}
\]

Simplificando:

\[
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{e^{2y}}{\sqrt{e^{x^2} + e^{2y}}}
\]

Evaluamos en el punto \( (2, 0) \):

\[
\frac{\partial f}{\partial y} (2, 0) = \frac{1}{\sqrt{e^{4} + 1}}
\]

### Paso 3: Modelo matemático del plano tangente

El modelo del plano tangente de una función en el punto \( (x_0, y_0) \) está dado por:

\[
z = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) (x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) (y - y_0)
\]

Calculamos \( f(2, 0) \):

\[
f(2, 0) = \sqrt{e^{4} + 1}
\]

Por lo tanto, el plano tangente en \( (2, 0) \) es:

\[
z = \sqrt{e^{4} + 1} + \frac{2 e^4}{\sqrt{e^4 + 1}} (x - 2) + \frac{1}{\sqrt{e^4 + 1}} (y)
\]

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso? Aquí tienes algunas preguntas adicionales:

1. ¿Cómo se puede aplicar la regla de la cadena para derivar funciones compuestas?
2. ¿Qué sucede si quisiéramos calcular la derivada parcial respecto a \( y \) en otro punto?
3. ¿Cómo se construye un plano tangente en función de las derivadas parciales?
4. ¿Cuál es la relación entre el plano tangente y la linealización de una función?
5. ¿Cómo afecta la elección del punto de evaluación a los valores de las derivadas?

**Tip:** Recuerda que para derivadas parciales en funciones compuestas, la regla de la cadena se aplica a cada variable involucrada.

Dada la función de dos variables f(x,y) = √(e^(x^2) - 2 + e^(2y) + 2), calcular las derivadas parciales en el punto (2, 0) y el modelo del plano tangente.

Aprende cómo calcular las derivadas parciales de la función f(x, y) = √(e^(x^2) - 2 + e^(2y) + 2) en el punto (2, 0) y construir el modelo matemático del plano tangente. Este problema involucra la aplicación de la regla de la cadena y es adecuado para estudiantes a nivel universitario.

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