https://r2.erweima.ai/mathbot/image/17264648924022h75g6jp.jpg

La imagen muestra un problema de derivadas parciales de orden superior. Tenemos que:

\( z = \sin(xy) \)

Y nos piden calcular la derivada parcial mixta de segundo orden \(\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\), evaluada en el punto \((x, y) = (1, \pi)\).

### Paso 1: Primera derivada parcial con respecto a \(x\)
Primero, derivamos \(z = \sin(xy)\) con respecto a \(x\), manteniendo \(y\) como constante:

\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \sin(xy) = y \cdot \cos(xy)
\]

### Paso 2: Segunda derivada parcial, ahora con respecto a \(y\)
Ahora derivamos esta expresión con respecto a \(y\):

\[
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( y \cdot \cos(xy) \right)
\]

Aplicamos la regla del producto:

\[
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \cos(xy) - xy \cdot \sin(xy)
\]

### Paso 3: Evaluar en el punto \((x, y) = (1, \pi)\)
Sustituyendo \(x = 1\) y \(y = \pi\) en la expresión obtenida:

\[
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \cos(1 \cdot \pi) - 1 \cdot \pi \cdot \sin(1 \cdot \pi)
\]

Sabemos que \(\cos(\pi) = -1\) y \(\sin(\pi) = 0\), entonces:

\[
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -1 - 1 \cdot \pi \cdot 0 = -1
\]

### Respuesta final:
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \Bigg|_{(1, \pi)} = -1
\]

¿Te gustaría una explicación más detallada sobre algún paso? 

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para profundizar:

1. ¿Qué es una derivada parcial mixta y en qué situaciones se utiliza?
2. ¿Cómo influye la simetría de la función \(\sin(xy)\) en las derivadas de orden superior?
3. ¿Cuál es la diferencia entre una derivada parcial ordinaria y una derivada parcial mixta?
4. ¿Qué sucede si calculamos la derivada mixta en un punto diferente de \((1, \pi)\)?
5. ¿Cómo podríamos extender este problema a derivadas de órdenes aún más altos?

**Tip:** En funciones de varias variables, las derivadas mixtas a menudo son iguales entre sí, según el teorema de Schwarz, bajo ciertas condiciones de continuidad.

¿Cuál es el valor de la derivada parcial mixta de segundo orden de z = sen(xy) evaluada en el punto (1, π)?

Aprende a calcular la derivada parcial mixta de segundo orden de z = sen(xy), evaluada en el punto (1, π). Sigue el paso a paso de cómo aplicar la regla del producto y evaluar derivadas parciales mixtas en funciones trigonométricas. Nivel universitario.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation