Encontrar la derivada parcial de z = x3y − xy4; x = e5t, y = sec(5t); dz

Para encontrar la derivada total \( dz \) de la función \( z = x^3y - xy^4 \), con las variables \( x = e^{5t} \) y \( y = \sec(5t) \), aplicaremos la **regla de la cadena** para derivadas parciales.

### Paso 1: Derivadas parciales de \( z \) con respecto a \( x \) e \( y \)
Dado que \( z = x^3y - xy^4 \), primero derivamos con respecto a \( x \) e \( y \).

1. **Derivada parcial de \( z \) con respecto a \( x \):**
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^3y - xy^4)
\]
Aplicamos la regla del producto en cada término:
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2y - y^4
\]

2. **Derivada parcial de \( z \) con respecto a \( y \):**
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^3y - xy^4)
\]
Aplicamos la derivación:
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = x^3 - 4xy^3
\]

### Paso 2: Derivar \( x \) e \( y \) con respecto a \( t \)
Dado que \( x = e^{5t} \) y \( y = \sec(5t) \), derivamos con respecto a \( t \):

1. **Derivada de \( x \) con respecto a \( t \):**
\[
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left( e^{5t} \right) = 5e^{5t}
\]

2. **Derivada de \( y \) con respecto a \( t \):**
\[
\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \sec(5t) \right) = 5\sec(5t)\tan(5t)
\]

### Paso 3: Calcular \( dz \) usando la regla de la cadena
La derivada total \( dz \) con respecto a \( t \) es:
\[
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}
\]

Sustituimos los valores obtenidos:
\[
\frac{dz}{dt} = \left( 3x^2y - y^4 \right) \cdot 5e^{5t} + \left( x^3 - 4xy^3 \right) \cdot 5\sec(5t)\tan(5t)
\]

Ahora podemos sustituir \( x = e^{5t} \) y \( y = \sec(5t) \):
\[
\frac{dz}{dt} = \left( 3(e^{5t})^2 \sec(5t) - (\sec(5t))^4 \right) \cdot 5e^{5t} + \left( (e^{5t})^3 - 4e^{5t}(\sec(5t))^3 \right) \cdot 5\sec(5t)\tan(5t)
\]

Este sería el resultado de \( dz/dt \). Si deseas simplificarlo más o evaluar para algún valor de \( t \), puedo ayudarte en ese paso.

---

¿Te gustaría ver los detalles del proceso o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué es la regla de la cadena y cómo se aplica en derivadas parciales?
2. ¿Cómo se calculan derivadas parciales para funciones con múltiples variables?
3. ¿Qué otras funciones trigonométricas se pueden derivar fácilmente?
4. ¿Cómo afecta el uso de la derivada total en sistemas con más de dos variables?
5. ¿Qué técnicas se pueden utilizar para simplificar expresiones con secantes y tangentes?

**Tip:** Siempre es útil verificar la correcta aplicación de la regla de la cadena revisando la relación entre las variables dependientes e independientes.

Encontrar la derivada parcial de z = x^3y − xy^4; x = e^{5t}, y = sec(5t); dz

Learn how to find the total derivative dz/dt of the function z = x^3y - xy^4 using partial derivatives and the chain rule. This problem involves substitutions x = e^5t and y = sec(5t), applying calculus concepts like product rule and trigonometric differentiation. Suitable for university-level calculus students.

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