Obtener la derivada direccional 𝐷௨𝑓(𝑥, 𝑦) para cada una de las funciones dadas y en la dirección que señala el ángulo 𝜃.

ଷ b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦
௫ 𝑃 = (1; 2) 𝜃 =
గ
ଶ   

Para obtener la derivada direccional \( D_{\mathbf{u}}f(x, y) \) de la función \( f(x, y) = y \) en el punto \( P = (1, 2) \) y en la dirección que señala el ángulo \( \theta = \frac{\pi}{2} \), seguimos los siguientes pasos:

### 1. Derivadas parciales de \( f(x, y) \)
Primero, calculamos las derivadas parciales de \( f(x, y) \) con respecto a \( x \) y \( y \):

\[
f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} y = 0
\]
\[
f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} y = 1
\]

### 2. Vector de dirección \(\mathbf{u}\)
La dirección de la derivada direccional está dada por un vector unitario \(\mathbf{u}\) en la dirección del ángulo \(\theta\). Como \( \theta = \frac{\pi}{2} \), el vector unitario \(\mathbf{u}\) es:

\[
\mathbf{u} = (\cos \theta, \sin \theta) = \left(\cos \frac{\pi}{2}, \sin \frac{\pi}{2}\right) = (0, 1)
\]

### 3. Derivada direccional \( D_{\mathbf{u}}f(x, y) \)
La derivada direccional de \( f \) en la dirección de \(\mathbf{u}\) se define como:

\[
D_{\mathbf{u}}f(x, y) = \nabla f(x, y) \cdot \mathbf{u}
\]

donde \( \nabla f(x, y) \) es el gradiente de \( f \), dado por:

\[
\nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (0, 1)
\]

### 4. Cálculo de la derivada direccional
Entonces, la derivada direccional es:

\[
D_{\mathbf{u}}f(x, y) = (0, 1) \cdot (0, 1) = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1
\]

Por lo tanto, la derivada direccional de \( f(x, y) = y \) en el punto \( P = (1, 2) \) y en la dirección que señala el ángulo \( \theta = \frac{\pi}{2} \) es \( D_{\mathbf{u}}f(1, 2) = 1 \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo afecta el ángulo \( \theta \) a la derivada direccional de una función?
2. ¿Qué sucede si \( \theta \) es igual a 0? ¿Cómo cambia la derivada direccional?
3. ¿Cómo se calcula el gradiente de funciones más complejas?
4. ¿Cómo se interpreta geométricamente la derivada direccional?
5. ¿Qué significaría si la derivada direccional fuese 0 en una determinada dirección?

**Tip:** La derivada direccional te dice la tasa de cambio de la función en una dirección específica. Es útil para entender cómo una función varía en diferentes direcciones en un punto dado.

Aprende a calcular la derivada direccional de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 en el punto P = (1, 2) y en la dirección del ángulo 𝜃 = 𝜋/2. Este problema cubre conceptos clave como las derivadas parciales, derivadas direccionales y el gradiente. Adecuado para estudiantes universitarios.

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