Para calcular la derivada de \( y^x \) con respecto a \( x \), aplicamos la derivada implícita o utilizamos logaritmos. Usaremos logaritmos en este caso.

1. Tomamos el logaritmo natural en ambos lados de la ecuación:
   \[
   \ln(y^x) = \ln(y) \cdot x
   \]

2. Simplificamos usando propiedades de logaritmos:
   \[
   \ln(y^x) = x \ln(y)
   \]

3. Ahora derivamos ambos lados con respecto a \( x \). Para el lado izquierdo, usamos la regla de la cadena:
   \[
   \frac{d}{dx}(\ln(y^x)) = \frac{d}{dx}(x \ln(y))
   \]

4. La derivada de \( \ln(y^x) \) es:
   \[
   \frac{1}{y^x} \cdot \frac{d}{dx}(y^x)
   \]

5. La derivada del lado derecho es:
   \[
   \frac{d}{dx}(x \ln(y)) = \ln(y) \cdot \frac{d}{dx}(x) + x \cdot \frac{d}{dx}(\ln(y))
   \]

6. Suponiendo que \( y \) es una función de \( x \), la derivada de \( \ln(y) \) es \( \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} \), por lo tanto:
   \[
   \frac{d}{dx}(x \ln(y)) = \ln(y) + x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}
   \]

7. Ahora, combinamos todo:
   \[
   \frac{1}{y^x} \cdot \frac{dy^x}{dx} = \ln(y) + \frac{x}{y} \cdot \frac{dy}{dx}
   \]

Finalmente, la derivada de \( y^x \) es:
\[
\frac{d}{dx}(y^x) = y^x \left( \ln(y) + \frac{x}{y} \cdot \frac{dy}{dx} \right)
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo se deriva una función exponencial más compleja, como \( e^{y^x} \)?
2. ¿Qué sucede si \( y \) es una constante? ¿Cómo cambia la derivada?
3. ¿Cómo se puede utilizar la regla de la cadena para derivar funciones más complicadas?
4. ¿Cuál es la importancia de la diferenciación implícita en el cálculo?
5. ¿Cómo se puede derivar \( y^x \) si \( y \) es una función explícita de \( x \)?

**Tip:** La diferenciación implícita es muy útil cuando la función no está explícitamente despejada para una variable en términos de la otra.

Descubre cómo calcular la derivada de y^x utilizando la diferenciación logarítmica. Este problema cubre conceptos clave de cálculo, incluyendo funciones exponenciales y la regla de la cadena. Adecuado para nivel universitario.

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