dada la funcion implicita ye^(ax)=x+1, Calcula el valor de la derivada dy/dx cuando la abcisa es igual a cero, condiera el valor de a=12

Para calcular la derivada \( \frac{dy}{dx} \) de la función implícita \( y e^{ax} = x + 1 \), cuando \( x = 0 \) y \( a = 12 \), seguimos estos pasos:

### Paso 1: Derivada Implícita

Diferenciamos ambos lados de la ecuación respecto a \( x \):

\[
\frac{d}{dx}\left(y e^{ax}\right) = \frac{d}{dx}(x + 1)
\]

Aplicamos la regla del producto a la izquierda:

\[
\frac{d}{dx}\left(y e^{ax}\right) = \frac{dy}{dx} \cdot e^{ax} + y \cdot \frac{d}{dx}\left(e^{ax}\right)
\]

Dado que \( \frac{d}{dx}\left(e^{ax}\right) = a e^{ax} \), tenemos:

\[
\frac{dy}{dx} \cdot e^{ax} + y \cdot a e^{ax} = 1
\]

### Paso 2: Simplificación

Factorizamos \( e^{ax} \) del lado izquierdo:

\[
e^{ax} \left(\frac{dy}{dx} + ay\right) = 1
\]

Dividimos ambos lados por \( e^{ax} \) para despejar \( \frac{dy}{dx} \):

\[
\frac{dy}{dx} + ay = \frac{1}{e^{ax}}
\]

Finalmente, aislamos \( \frac{dy}{dx} \):

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^{ax}} - ay
\]

### Paso 3: Sustituir los valores dados

Ahora sustituimos \( x = 0 \) y \( a = 12 \) en la expresión:

\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^{12 \cdot 0}} - 12y
\]

Dado que \( e^0 = 1 \), obtenemos:

\[
\frac{dy}{dx} = 1 - 12y
\]

### Paso 4: Encontrar el valor de \( y \) cuando \( x = 0 \)

Sustituyendo \( x = 0 \) en la ecuación original:

\[
y \cdot e^{12 \cdot 0} = 0 + 1
\]

\[
y \cdot 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad y = 1
\]

### Paso 5: Calcular \( \frac{dy}{dx} \) en \( x = 0 \) y \( y = 1 \)

Sustituimos \( y = 1 \) en la expresión de \( \frac{dy}{dx} \):

\[
\frac{dy}{dx} = 1 - 12 \cdot 1 = 1 - 12 = -11
\]

Por lo tanto, el valor de la derivada \( \frac{dy}{dx} \) cuando \( x = 0 \) es \(-11\).

---

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica la regla del producto en la derivación implícita?
2. ¿Qué otras técnicas se pueden usar para derivadas implícitas?
3. ¿Qué ocurre si cambiamos el valor de \( a \) en la función dada?
4. ¿Cómo afectaría a \( \frac{dy}{dx} \) si se cambian las condiciones iniciales?
5. ¿Cómo se interpretan los resultados de \( \frac{dy}{dx} \) en términos gráficos?

**Tip:** Siempre verifica que los valores iniciales dados satisfagan la ecuación original antes de calcular derivadas u otros resultados.

Aprende a calcular la derivada de la función implícita y e^(12x) = x + 1 cuando x = 0. Este problema cubre la derivada implícita y funciones exponenciales, proporcionando una solución detallada paso a paso.

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