Considere y como la variable independiente y x como la variable dependiente y utilice la derivación implícita para calcular dx/dy. (Para la función de "sen()", utilice "sin()". Por ejemplo, "sen(x)" se escribe como "sin(x)".)
y sec(x) = 9x tan(y)

Dado que la ecuación es:

\[
y \sec(x) = 9x \tan(y)
\]

Vamos a aplicar la **derivación implícita** con respecto a \( y \), donde \( y \) es la variable independiente y \( x \) es la variable dependiente.

### Paso 1: Derivemos ambos lados de la ecuación con respecto a \( y \).

#### Lado izquierdo: \( y \sec(x) \)

Aplicamos la regla del producto:

\[
\frac{d}{dy} \left( y \sec(x) \right) = \frac{d}{dy}(y) \cdot \sec(x) + y \cdot \frac{d}{dy}(\sec(x))
\]

Sabemos que \( \frac{d}{dy}(y) = 1 \) y ahora necesitamos la derivada de \( \sec(x) \) con respecto a \( y \). Como \( x \) es una función de \( y \), usamos la regla de la cadena:

\[
\frac{d}{dy}(\sec(x)) = \sec(x) \tan(x) \frac{dx}{dy}
\]

Entonces el lado izquierdo se convierte en:

\[
\sec(x) + y \sec(x) \tan(x) \frac{dx}{dy}
\]

#### Lado derecho: \( 9x \tan(y) \)

Aplicamos la regla del producto nuevamente:

\[
\frac{d}{dy} \left( 9x \tan(y) \right) = \frac{d}{dy}(9x) \cdot \tan(y) + 9x \cdot \frac{d}{dy}(\tan(y))
\]

La derivada de \( 9x \) con respecto a \( y \) es \( 9 \frac{dx}{dy} \), y la derivada de \( \tan(y) \) con respecto a \( y \) es \( \sec^2(y) \). Por lo tanto, el lado derecho se convierte en:

\[
9 \frac{dx}{dy} \tan(y) + 9x \sec^2(y)
\]

### Paso 2: Juntamos todo en una sola ecuación:

\[
\sec(x) + y \sec(x) \tan(x) \frac{dx}{dy} = 9 \frac{dx}{dy} \tan(y) + 9x \sec^2(y)
\]

### Paso 3: Aislar \( \frac{dx}{dy} \)

Agrupamos los términos que contienen \( \frac{dx}{dy} \):

\[
y \sec(x) \tan(x) \frac{dx}{dy} - 9 \frac{dx}{dy} \tan(y) = 9x \sec^2(y) - \sec(x)
\]

Factorizamos \( \frac{dx}{dy} \):

\[
\frac{dx}{dy} \left( y \sec(x) \tan(x) - 9 \tan(y) \right) = 9x \sec^2(y) - \sec(x)
\]

Finalmente, despejamos \( \frac{dx}{dy} \):

\[
\frac{dx}{dy} = \frac{9x \sec^2(y) - \sec(x)}{y \sec(x) \tan(x) - 9 \tan(y)}
\]

### Resultado final:

\[
\frac{dx}{dy} = \frac{9x \sec^2(y) - \sec(x)}{y \sec(x) \tan(x) - 9 \tan(y)}
\]

¿Te gustaría más detalles o alguna aclaración?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo aplicar la derivación implícita a funciones más complejas?
2. ¿Qué papel juega la regla de la cadena en la derivación implícita?
3. ¿Cómo afecta el hecho de que \( x \) sea una función de \( y \) a la derivada?
4. ¿Cómo podrías resolver una ecuación similar usando derivadas parciales?
5. ¿Cómo se simplifica el proceso de aislar \( \frac{dx}{dy} \) en ecuaciones implícitas?

### Tip: Cuando derivas funciones trigonométricas en derivación implícita, usa siempre la regla de la cadena, ya que la variable dependiente está dentro de la función.

Considere y como la variable independiente y x como la variable dependiente y utilice la derivación implícita para calcular dx/dy. (Para la función de 'sen()', utilice 'sin()'. Por ejemplo, 'sen(x)' se escribe como 'sin(x)'.) y sec(x) = 9x tan(y)

Aprende a utilizar la derivación implícita para resolver la ecuación y sec(x) = 9x tan(y), calculando dx/dy paso a paso. Incluye el uso de funciones trigonométricas y la regla de la cadena. Adecuado para estudiantes de grado 12 o nivel universitario inicial.

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