Demuestra que cos (W_0 (t +T_0)) + j sen (W_0 (t +T_0)) = cos(W_0 t) +j sen(W_0t)  osease, que la función es periódica

Para demostrar que la función \( \cos(W_0(t + T_0)) + j \sin(W_0(t + T_0)) \) es periódica y que se cumple la igualdad:

\[
\cos(W_0(t + T_0)) + j \sin(W_0(t + T_0)) = \cos(W_0t) + j \sin(W_0t)
\]

donde \( j \) es la unidad imaginaria, seguimos los siguientes pasos:

### 1. Expansión de la función trigonométrica
Usamos las identidades trigonométricas de ángulos sumados:

\[
\cos(W_0(t + T_0)) = \cos(W_0 t + W_0 T_0) = \cos(W_0 t) \cos(W_0 T_0) - \sin(W_0 t) \sin(W_0 T_0)
\]

\[
\sin(W_0(t + T_0)) = \sin(W_0 t + W_0 T_0) = \sin(W_0 t) \cos(W_0 T_0) + \cos(W_0 t) \sin(W_0 T_0)
\]

Por lo tanto, la expresión completa es:

\[
\cos(W_0(t + T_0)) + j \sin(W_0(t + T_0)) = (\cos(W_0 t) \cos(W_0 T_0) - \sin(W_0 t) \sin(W_0 T_0)) + j (\sin(W_0 t) \cos(W_0 T_0) + \cos(W_0 t) \sin(W_0 T_0))
\]

### 2. Reescritura en términos de exponenciales complejas
Podemos usar la identidad de Euler, que establece que \( e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta) \), para reescribir la función:

\[
\cos(W_0(t + T_0)) + j \sin(W_0(t + T_0)) = e^{j W_0(t + T_0)}
\]

Esto se puede expandir como:

\[
e^{j W_0 t} e^{j W_0 T_0} = e^{j W_0 t} \cdot e^{j W_0 T_0}
\]

### 3. Condición de periodicidad
Para que la función sea periódica, se debe cumplir que:

\[
e^{j W_0 T_0} = 1
\]

Esto ocurre cuando \( W_0 T_0 = 2n\pi \), donde \( n \) es un número entero. Bajo esta condición, tenemos:

\[
e^{j W_0(t + T_0)} = e^{j W_0 t} \cdot e^{j \cdot 2n\pi} = e^{j W_0 t}
\]

Como \( e^{j \cdot 2n\pi} = 1 \), se cumple que:

\[
\cos(W_0(t + T_0)) + j \sin(W_0(t + T_0)) = \cos(W_0 t) + j \sin(W_0 t)
\]

### Conclusión
Por lo tanto, hemos demostrado que \( \cos(W_0(t + T_0)) + j \sin(W_0(t + T_0)) \) es periódica con período \( T_0 = \frac{2\pi}{W_0} \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se relaciona el periodo con la frecuencia angular \(W_0\)?
2. ¿Qué propiedades tienen las funciones periódicas en general?
3. ¿Cómo afecta un cambio en \( W_0 \) al periodo de la función?
4. ¿Qué ocurre si \( T_0 \) no es un múltiplo de \( \frac{2\pi}{W_0} \)?
5. ¿Qué otras identidades trigonométricas son útiles en este tipo de demostraciones?

**Tip:** La identidad de Euler es una herramienta poderosa para simplificar expresiones trigonométricas complejas y demostrar periodicidad.

Aprende cómo demostrar la periodicidad de la función cos(W_0(t + T_0)) + j sen(W_0(t + T_0)) utilizando identidades trigonométricas y la fórmula de Euler. Este problema abarca conceptos avanzados de trigonometría y números complejos. Adecuado para estudiantes de nivel avanzado de secundaria o universitarios.

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