Suponga que a11a22 - a12a21 = 0. Demuestre que las rectas dadas en el sistema de ecuacio
nes (1.1.1) son paralelas. Suponga que a11≠0 o a12≠0 y a21≠ 0 o a22 ≠0tenga en cuenta que el sistema de ecuaciones (1.1.1) es a11x+a12y=b1 y la ecuacion 2 es a21x+a22y=b2



Dado el sistema de ecuaciones:

\[
a_{11}x + a_{12}y = b_1 \quad \text{(Ecuación 1)}
\]
\[
a_{21}x + a_{22}y = b_2 \quad \text{(Ecuación 2)}
\]

se nos pide demostrar que las rectas representadas por estas ecuaciones son **paralelas** bajo la condición de que:

\[
a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = 0.
\]

### Paso 1: Forma general de las rectas

Primero, observemos que ambas ecuaciones representan rectas en el plano. La forma general de una recta es \(Ax + By = C\), donde \(A\) y \(B\) son los coeficientes de \(x\) y \(y\), y \(C\) es un término constante. En este caso, las dos ecuaciones tienen la forma:

\[
a_{11}x + a_{12}y = b_1,
\]
\[
a_{21}x + a_{22}y = b_2.
\]

### Paso 2: Pendiente de cada recta

Recordemos que la pendiente de una recta en la forma \(Ax + By = C\) se calcula como:

\[
\text{Pendiente} = -\frac{A}{B}.
\]

Para la primera recta \(a_{11}x + a_{12}y = b_1\), la pendiente es:

\[
m_1 = -\frac{a_{11}}{a_{12}}.
\]

Para la segunda recta \(a_{21}x + a_{22}y = b_2\), la pendiente es:

\[
m_2 = -\frac{a_{21}}{a_{22}}.
\]

### Paso 3: Condición de paralelismo

Sabemos que dos rectas son **paralelas** si y solo si tienen la **misma pendiente**, es decir, si \(m_1 = m_2\). Esto implica que:

\[
-\frac{a_{11}}{a_{12}} = -\frac{a_{21}}{a_{22}}.
\]

Eliminando los signos negativos, esto equivale a:

\[
\frac{a_{11}}{a_{12}} = \frac{a_{21}}{a_{22}}.
\]

Al multiplicar en cruz, obtenemos:

\[
a_{11}a_{22} = a_{12}a_{21}.
\]

### Paso 4: Relación con la hipótesis

Observamos que esta última expresión es exactamente la condición dada en el enunciado del problema:

\[
a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = 0.
\]

Por lo tanto, bajo esta condición, las pendientes de las dos rectas son iguales, lo que significa que las rectas son **paralelas**.

### Conclusión

Hemos demostrado que, si se cumple que \(a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = 0\), las dos rectas dadas por el sistema de ecuaciones son paralelas.

---

¿Te gustaría más detalles o alguna aclaración adicional?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Qué ocurre si \(a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \neq 0\)? ¿Siguen siendo paralelas las rectas?
2. ¿Cómo podemos interpretar geométricamente el determinante \(a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}\)?
3. ¿Qué significa que una recta sea paralela en términos de su vector normal?
4. ¿Cómo afecta el valor de \(b_1\) y \(b_2\) a la posición de las rectas paralelas?
5. ¿Cómo podríamos generalizar este resultado para sistemas de más de dos ecuaciones?

### Tip:
Al trabajar con sistemas de ecuaciones lineales, el determinante de los coeficientes puede dar información valiosa sobre la naturaleza de las soluciones y las propiedades geométricas del sistema.

Suponga que a11a22 - a12a21 = 0. Demuestre que las rectas dadas en el sistema de ecuaciones (1.1.1) son paralelas. Suponga que a11≠0 o a12≠0 y a21≠0 o a22≠0 tenga en cuenta que el sistema de ecuaciones (1.1.1) es a11x + a12y = b1 y la ecuacion 2 es a21x + a22y = b2.

Descubre cómo demostrar que las rectas representadas por el sistema de ecuaciones a11x + a12y = b1 y a21x + a22y = b2 son paralelas utilizando el criterio de pendiente y el determinante. Esta explicación cubre conceptos clave de álgebra y geometría analítica, ideal para estudiantes de los grados 10-12.

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