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Peux-tu me faire une correction rédigée

L’énoncé demande d’évaluer si l'affirmation est vraie ou fausse, puis de la justifier.

### Énoncé à analyser :
> Pour tout réel \( k \) de l'intervalle \(\ ]-2 ; 2[ \), l'équation \( x^3 - 3x = k \) admet trois solutions.

#### Étude de l'équation \( f(x) = x^3 - 3x \) :
1. **Fonction de base** : La fonction \( f(x) = x^3 - 3x \) est une fonction polynomiale de degré 3.
   
2. **Étude des dérivées** :
   - Calculons la dérivée de \( f(x) \) : 
     \[
     f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1).
     \]
   - Cette dérivée s'annule pour \( x = -1 \) et \( x = 1 \), ce qui indique que la fonction présente deux points critiques aux abscisses \( x = -1 \) et \( x = 1 \).
   - \( f'(x) > 0 \) pour \( x < -1 \) ou \( x > 1 \) (la fonction est croissante), et \( f'(x) < 0 \) pour \( -1 < x < 1 \) (la fonction est décroissante).

3. **Étude des variations** :
   - La fonction est décroissante sur l'intervalle \( ]-1 ; 1[ \) et croissante sur \( ]-\infty ; -1[ \) et \( ]1 ; +\infty[ \).
   - Aux points critiques :
     \[
     f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2,
     \]
     \[
     f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2.
     \]
   - Comportement à l'infini :
     \[
     \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty.
     \]

4. **Image de la fonction** :
   - Entre \( x = -1 \) et \( x = 1 \), la fonction passe de \( f(-1) = 2 \) à \( f(1) = -2 \). 
   - Ainsi, \( f(x) \) prend toutes les valeurs de l'intervalle \([-2, 2]\) une fois pour les valeurs dans \( ]-1, 1[ \) et encore une autre fois pour des \( x \) en dehors de cet intervalle.

#### Conclusion :
- Pour tout \( k \in ]-2 ; 2[ \), l'équation \( f(x) = k \) admet trois solutions. En effet, il y aura :
  1. Une solution unique pour \( x \in ]-1 ; 1[ \) où la fonction est décroissante,
  2. Deux autres solutions pour des valeurs de \( x \) en dehors de cet intervalle où la fonction est croissante.

Donc, **l’affirmation est vraie**.

---

Est-ce que tu as des questions ou besoin de plus de détails ?

Voici quelques questions supplémentaires qui pourraient approfondir ta compréhension :
1. Comment prouve-t-on qu’une fonction cubique admet toujours au moins une solution ?
2. Pourquoi les dérivées permettent-elles de déterminer le nombre de solutions d’une équation ?
3. Comment déterminer les solutions d’une équation cubique sans utiliser un graphe ?
4. Quelle est l’importance des variations d'une fonction pour résoudre des équations ?
5. Comment l'intervalle des solutions change-t-il si l'équation est modifiée, par exemple \( x^3 - 3x = 3 \) ?

**Astuce** : Les dérivées te permettent de savoir comment une fonction varie et où elle atteint ses maximums et minimums.

Indiquer si l'affirmation est vraie ou fausse, puis justifier. Pour tout réel k de l'intervalle ]-2 ; 2[, l'équation x^3 - 3x = k admet trois solutions.

Determine whether the cubic equation x^3 - 3x = k has three solutions for k in the interval ]-2 ; 2[. Explore polynomial equations, derivative analysis, and the role of critical points in this advanced problem suitable for students in Grades 11-12.

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