Hallar la suma de cifras del residuo, luego de
dividir la siguiente expresión:
3𝑥16 − 2𝑥12 + 5𝑥4 − 7
𝑥4 + 3

Para resolver este problema, seguiremos los siguientes pasos:

### Paso 1: Expresión del problema
Queremos hallar el residuo de la división:

\[
\frac{3x^{16} - 2x^{12} + 5x^4 - 7}{x^4 + 3}
\]

### Paso 2: Realizar la división polinomial
Dividimos el polinomio \(3x^{16} - 2x^{12} + 5x^4 - 7\) entre \(x^4 + 3\). Para ello, utilizamos el método de la división larga de polinomios.

1. **Dividimos el primer término del dividendo por el primer término del divisor:**
   \[
   \frac{3x^{16}}{x^4} = 3x^{12}
   \]
2. **Multiplicamos el cociente parcial por el divisor:**
   \[
   (3x^{12})(x^4 + 3) = 3x^{16} + 9x^{12}
   \]
3. **Restamos el resultado de la multiplicación del dividendo:**
   \[
   (3x^{16} - 2x^{12}) - (3x^{16} + 9x^{12}) = -11x^{12}
   \]
4. **Repetimos el proceso:**
   \[
   \frac{-11x^{12}}{x^4} = -11x^8
   \]
   \[
   (-11x^8)(x^4 + 3) = -11x^{12} - 33x^8
   \]
   \[
   (-11x^{12} + 5x^4) - (-11x^{12} - 33x^8) = 33x^8 + 5x^4
   \]
5. **Continuamos con el siguiente término:**
   \[
   \frac{33x^8}{x^4} = 33x^4
   \]
   \[
   (33x^4)(x^4 + 3) = 33x^8 + 99x^4
   \]
   \[
   (33x^8 + 5x^4 - 7) - (33x^8 + 99x^4) = -94x^4 - 7
   \]
6. **Dividimos el siguiente término:**
   \[
   \frac{-94x^4}{x^4} = -94
   \]
   \[
   (-94)(x^4 + 3) = -94x^4 - 282
   \]
   \[
   (-94x^4 - 7) - (-94x^4 - 282) = 275
   \]

### Paso 3: Residuo
El residuo es \(275\).

### Paso 4: Suma de las cifras del residuo
El residuo es \(275\), y la suma de sus cifras es:

\[
2 + 7 + 5 = 14
\]

Por lo tanto, la **suma de las cifras del residuo es 14**.

---

¿Te gustaría algún detalle adicional o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica el método de la división sintética en este tipo de problemas?
2. ¿Cuál es la importancia del residuo en una división polinomial?
3. ¿Qué sucede si el divisor no tiene un término constante?
4. ¿Cómo se usan los residuos polinomiales en álgebra moderna?
5. ¿Qué otros métodos existen para dividir polinomios?

### Tip:
En la división polinomial, siempre debes organizar los términos del dividendo y el divisor en orden decreciente de las potencias para evitar errores.

Hallar la suma de cifras del residuo, luego de dividir la siguiente expresión: 3x^16 - 2x^12 + 5x^4 - 7 / x^4 + 3

Learn how to find the remainder when dividing 3x^16 - 2x^12 + 5x^4 - 7 by x^4 + 3 using polynomial long division. This detailed solution includes the steps to perform the division and sum the digits of the remainder. Suitable for Grades 11-12.

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