已知函数f（x）=3^x+3^-x，解不等式f（x）<（5/2）

已知函数 \( f(x) = 3^x + 3^{-x} \)，要求解不等式 \( f(x) < \frac{5}{2} \)。

### 第一步：将函数简化
我们可以将函数表示为：
\[
f(x) = 3^x + 3^{-x}
\]
利用对称性，我们知道 \( 3^x + 3^{-x} \) 是一个关于 \( x \) 对称的函数，并且在 \( x = 0 \) 时达到最小值。因此我们首先来计算 \( x = 0 \) 时的函数值：
\[
f(0) = 3^0 + 3^0 = 1 + 1 = 2
\]

当 \( x \rightarrow \infty \) 时，\( 3^x \) 增大，\( 3^{-x} \) 迅速减小，\( f(x) \) 的值趋近于无穷大。同样，当 \( x \rightarrow -\infty \) 时，情况类似。因此，\( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处有最小值，且是递增函数。

### 第二步：设 \( y = 3^x \)，将问题转化为二次不等式
设 \( y = 3^x \)，则 \( 3^{-x} = \frac{1}{y} \)，所以函数可以改写为：
\[
f(x) = y + \frac{1}{y}
\]
我们要求解不等式：
\[
y + \frac{1}{y} < \frac{5}{2}
\]
### 第三步：乘以 \( y \) 消去分母
两边同时乘以 \( y \)，得到：
\[
y^2 + 1 < \frac{5}{2}y
\]
整理为：
\[
2y^2 - 5y + 2 < 0
\]

### 第四步：解二次不等式
解方程 \( 2y^2 - 5y + 2 = 0 \)：
\[
y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 2 \times 2}}{2 \times 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}
\]
得到两个根：
\[
y_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2, \quad y_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}
\]

### 第五步：求不等式的解集
根据二次不等式的性质，二次函数 \( 2y^2 - 5y + 2 \) 的图像是开口向上的抛物线，且它在 \( y = \frac{1}{2} \) 和 \( y = 2 \) 之间取负值。因此，解集为：
\[
\frac{1}{2} < y < 2
\]

由于 \( y = 3^x \)，所以 \( \frac{1}{2} < 3^x < 2 \)。取对数得：
\[
\log_3 \frac{1}{2} < x < \log_3 2
\]

### 第六步：计算对数
\[
\log_3 \frac{1}{2} = -\log_3 2 \approx -0.631, \quad \log_3 2 \approx 0.631
\]

### 结果
因此，不等式 \( f(x) < \frac{5}{2} \) 的解为：
\[
x \in (-0.631, 0.631)
\]

---

如果你有问题或需要详细说明，请告诉我！

**扩展问题：**
1. 如何利用其他函数的对称性求解类似不等式？
2. 对数函数 \( \log_3(x) \) 的性质是什么？
3. 如果函数变为 \( f(x) = a^x + a^{-x} \)，如何处理？
4. 怎样利用图像法直观判断二次不等式的解集？
5. 如何将二次不等式应用于实际问题中？

**提示**：在解不等式时，合理利用变量代换常常可以简化问题，使复杂的表达式转化为熟悉的形式。

Learn how to solve the inequality f(x) = 3^x + 3^-x < 5/2, involving exponential functions, quadratic inequalities, and logarithms. This detailed solution covers key steps like transforming the problem into a quadratic inequality and using logarithms to find the solution. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation