Dom(f)=[–2;9]→ B una función suryectiva, definida
por f(x)=x2 –8x. Determine la cantidad de elementos enteros
de L=〈–2, 10〉∩ B.
A) 8 B) 11 C) 9
D) 10 E) 12

Para resolver este problema, primero debemos entender los elementos y las relaciones de la función dada \( f(x) = x^2 - 8x \) con dominio \([–2; 9]\). Esta función es sobreyectiva sobre un conjunto \( B \), y necesitamos determinar cuántos elementos enteros están en el conjunto \( L = \langle -2, 10 \rangle \cap B \).

### Paso 1: Determinar el Conjunto de Valores de \( f(x) \)

Dado que la función es sobreyectiva, su rango es igual al conjunto \( B \). Calcularemos el rango de la función dentro del dominio dado.

1. **Expresión de la función:**

\[
f(x) = x^2 - 8x
\]

2. **Identificación del tipo de función:**

La función es una parábola con coeficiente cuadrático positivo (\(1\)), lo cual significa que tiene un mínimo.

3. **Encontrar el vértice de la parábola:**

La coordenada x del vértice de la parábola se encuentra usando la fórmula:

\[
x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4
\]

Sustituimos \( x = 4 \) en \( f(x) \) para encontrar la coordenada y del vértice:

\[
f(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 = 16 - 32 = -16
\]

Entonces, el vértice de la parábola es \( (4, -16) \), y el valor mínimo de la función es \(-16\).

4. **Calcular el rango de la función:**

Como la parábola abre hacia arriba, el rango de la función en el dominio dado es:

\[
B = [-16, f(9)]
\]

Ahora, calculamos \( f(9) \):

\[
f(9) = 9^2 - 8 \cdot 9 = 81 - 72 = 9
\]

Por lo tanto, el rango de la función, que es el conjunto \( B \), es:

\[
B = [-16, 9]
\]

### Paso 2: Determinar los Elementos Enteros en \( L = \langle -2, 10 \rangle \cap B \)

Dado \( L = \langle -2, 10 \rangle \cap B \), necesitamos encontrar la intersección de los conjuntos de valores posibles.

El conjunto \(\langle -2, 10 \rangle\) contiene todos los números reales entre -2 y 10.

Ahora, la intersección con el rango \( B = [-16, 9] \) es:

\[
L = [-2, 9]
\]

Los elementos enteros en este rango son:

\[
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
\]

### Paso 3: Contar los Elementos Enteros

Hay 12 elementos enteros en el conjunto \( L = [-2, 9] \).

### Respuesta

La cantidad de elementos enteros en \( L \) es:

**E) 12**

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#### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se determina si una función es sobreyectiva?
2. ¿Qué significa el rango de una función?
3. ¿Cuál es la importancia de encontrar el vértice de una parábola en un problema como este?
4. ¿Cómo afecta el dominio de una función al rango posible de salida?
5. ¿Qué otros métodos se pueden usar para calcular el rango de una función cuadrática?

#### Tip:
Para determinar el rango de una función cuadrática, encuentra siempre el vértice y examina el comportamiento hacia los extremos del dominio.

Dom(f)=[–2;9]→ B una función suryectiva, definida por f(x)=x^2 –8x. Determine la cantidad de elementos enteros de L=〈–2, 10〉∩ B. A) 8 B) 11 C) 9 D) 10 E) 12

Solve the problem of finding the number of integer elements for the surjective function f(x) = x^2 - 8x over the domain [-2, 9]. This problem involves calculating the vertex of a parabola and determining the range of the function to find the intersection with a given set. Suitable for students in Grades 10-12.

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