Para expresar la desigualdad \( 20x + 30y \leq 6000 \) como una función lineal, primero debemos transformarla en una ecuación de la forma \( y = mx + b \), donde \( m \) es la pendiente y \( b \) es la ordenada al origen.

### Paso 1: Convertir la desigualdad en una ecuación
Partimos de la desigualdad original:
\[
20x + 30y = 6000
\]

### Paso 2: Despejar \( y \)
Para convertir esto en una ecuación de la forma \( y = mx + b \), despejamos \( y \):

1. Restamos \( 20x \) de ambos lados:
   \[
   30y = -20x + 6000
   \]
2. Dividimos todos los términos por 30:
   \[
   y = -\frac{20}{30}x + \frac{6000}{30}
   \]
   Simplificamos las fracciones:
   \[
   y = -\frac{2}{3}x + 200
   \]

### Paso 3: Interpretar la función lineal
La función lineal equivalente es:
\[
y = -\frac{2}{3}x + 200
\]
Aquí:
- La **pendiente** \( m = -\frac{2}{3} \) indica que por cada unidad que aumenta \( x \), \( y \) disminuye en \( \frac{2}{3} \) unidades.
- La **ordenada al origen** \( b = 200 \) indica que cuando \( x = 0 \), \( y = 200 \).

### Paso 4: Considerar la desigualdad original
La desigualdad \( 20x + 30y \leq 6000 \) se traduce en que los puntos \((x, y)\) deben estar en o por debajo de la línea \( y = -\frac{2}{3}x + 200 \).

### Representación gráfica
- La línea \( y = -\frac{2}{3}x + 200 \) pasa por los puntos:
  - \( (0, 200) \) en el eje \( y \).
  - \( (300, 0) \) en el eje \( x \).
- El área debajo de esta línea, incluyendo la línea misma, representa la solución de la desigualdad.

### Resumen
La función lineal asociada a la desigualdad es:
\[
y = -\frac{2}{3}x + 200
\]
Y la desigualdad impone la restricción de que \( y \) debe ser menor o igual a esta expresión para los valores de \( x \).

¿Quieres que te explique cómo graficar esta función o hay algo más que quieras saber? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas que podrían interesarte:

1. ¿Cómo encontrar la pendiente y la intersección de una línea a partir de una ecuación lineal?
2. ¿Cómo se interpretan gráficamente las desigualdades lineales?
3. ¿Cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales gráficamente?
4. ¿Qué aplicaciones tienen las funciones lineales en problemas del mundo real?
5. ¿Cómo encontrar puntos de intersección entre dos líneas?

**Consejo:** Cuando conviertas una desigualdad en una función lineal, recuerda que la desigualdad indica que la solución incluye todos los puntos por encima o por debajo de la línea, dependiendo de la dirección de la desigualdad.

Aprende cómo convertir la desigualdad 20x + 30y ≤ 6000 en una función lineal y = -2/3x + 200 con una solución detallada. Este problema cubre conceptos clave de funciones lineales, desigualdades y gráficos. Adecuado para estudiantes de los grados 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation