área limitada por las curvas y= |x+5|+3 el eje x y las rectas x=-8 yx=-3

Para encontrar el área limitada por las curvas y = |x + 5| + 3, el eje \(x\), y las rectas \(x = -8\) y \(x = -3\), seguimos estos pasos:

1. **Curva**: La función \( y = |x + 5| + 3 \) se descompone en dos partes según el valor de \(x\):
   - Para \(x \leq -5\), la función se convierte en \( y = -(x + 5) + 3 = -x - 2 \).
   - Para \(x \geq -5\), la función se convierte en \( y = (x + 5) + 3 = x + 8 \).

2. **Intervalo de integración**: El área está delimitada en el intervalo de \(x = -8\) a \(x = -3\), por lo tanto, vamos a dividir el problema en dos integrales: una de \(x = -8\) a \(x = -5\) y otra de \(x = -5\) a \(x = -3\).

3. **Área bajo la curva**:
   - Para \(x \in [-8, -5]\), usamos la función \( y = -x - 2 \).
   - Para \(x \in [-5, -3]\), usamos la función \( y = x + 8 \).

### Cálculo del área
#### 1. Área bajo la curva \(y = -x - 2\) desde \(x = -8\) hasta \(x = -5\):
\[
A_1 = \int_{-8}^{-5} (-(x + 5) + 3) \, dx = \int_{-8}^{-5} (-x - 2) \, dx
\]

#### 2. Área bajo la curva \(y = x + 8\) desde \(x = -5\) hasta \(x = -3\):
\[
A_2 = \int_{-5}^{-3} ((x + 5) + 3) \, dx = \int_{-5}^{-3} (x + 8) \, dx
\]

Sumamos las dos áreas para obtener el área total.

Voy a proceder a calcular ambas integrales.El área total limitada por las curvas \( y = |x + 5| + 3 \), el eje \(x\), y las rectas \(x = -8\) y \(x = -3\) es \( \frac{43}{2} \), o 21.5 unidades cuadradas.

¿Te gustaría una explicación más detallada de los pasos? Aquí tienes algunas preguntas adicionales para profundizar:

1. ¿Cómo afecta el valor absoluto al comportamiento de la función en diferentes intervalos?
2. ¿Por qué se dividió la integral en dos partes diferentes?
3. ¿Qué papel juegan las rectas \(x = -8\) y \(x = -3\) en el cálculo del área?
4. ¿Cómo se calcula el área bajo una curva en términos generales?
5. ¿Cómo sería el gráfico de la función \(y = |x + 5| + 3\)?

**Tip**: Cuando trabajas con funciones a tramos, es importante identificar los puntos donde la función cambia su comportamiento para integrar correctamente.

área limitada por las curvas y = |x + 5| + 3, el eje x, y las rectas x = -8 y x = -3

Calcula el área limitada por la curva y = |x + 5| + 3, el eje x, y las rectas x = -8 y x = -3. Este problema incluye conceptos avanzados de cálculo, como la integración de funciones a tramos y el uso de integrales definidas. Apto para estudiantes de los grados 11-12.

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