Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o   lim(x,y)→(0,0) 
e−x2−y2 − 1
 x2 +y2 

Para determinar o limite da função dada conforme \((x, y) \to (0, 0)\), precisamos calcular:

\[
\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{e^{-x^2 - y^2} - 1}{x^2 + y^2}
\]

### 1. Verificação direta
Primeiramente, observe que ao substituir diretamente \((x, y) = (0, 0)\) na função, tanto o numerador quanto o denominador se tornam 0. Portanto, temos uma indeterminação do tipo \(\frac{0}{0}\), o que sugere que devemos utilizar outras abordagens, como a aplicação da regra de L'Hôpital ou a expansão em séries.

### 2. Expansão em Série de Taylor
Podemos expandir o numerador \(e^{-x^2 - y^2} - 1\) em uma série de Taylor em torno de \((x, y) = (0, 0)\):

\[
e^{-x^2 - y^2} = 1 - (x^2 + y^2) + \frac{(x^2 + y^2)^2}{2!} - \frac{(x^2 + y^2)^3}{3!} + \cdots
\]

Subtraindo 1 da expressão:

\[
e^{-x^2 - y^2} - 1 = - (x^2 + y^2) + \frac{(x^2 + y^2)^2}{2!} - \frac{(x^2 + y^2)^3}{3!} + \cdots
\]

Agora, substituímos essa expansão na função original:

\[
\frac{e^{-x^2 - y^2} - 1}{x^2 + y^2} = \frac{- (x^2 + y^2) + \frac{(x^2 + y^2)^2}{2!} - \cdots}{x^2 + y^2}
\]

Simplificando:

\[
\frac{e^{-x^2 - y^2} - 1}{x^2 + y^2} = -1 + \frac{(x^2 + y^2)}{2!} - \cdots
\]

### 3. Limite
À medida que \((x, y) \to (0, 0)\), todos os termos contendo \((x^2 + y^2)\) se tornam nulos. Portanto, o limite da função é:

\[
\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{e^{-x^2 - y^2} - 1}{x^2 + y^2} = -1
\]

### Conclusão:
O limite existe e é igual a \(-1\).

---

Quer saber mais detalhes ou tem alguma dúvida sobre este cálculo?  
Aqui estão 5 perguntas relacionadas:

1. Como funciona a regra de L'Hôpital e quando ela é aplicável?
2. O que é uma série de Taylor e como ela pode ser utilizada para calcular limites?
3. Existem outros métodos para resolver limites indeterminados?
4. Como a expansão de \(e^{-x^2 - y^2}\) em série de Taylor pode ser utilizada em outros problemas?
5. Como determinar limites em funções de várias variáveis em outros pontos além da origem?

**Dica:** Sempre verifique se há indeterminação ao calcular um limite, pois isso determinará a abordagem correta a ser utilizada.

Learn how to calculate the limit of (e^{-x^2 - y^2} - 1) / (x^2 + y^2) as (x, y) approaches (0, 0). This problem involves advanced concepts such as limits of multivariable functions, series expansions, and applications of L'Hôpital's rule.

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