Para resolver la integral:

\[
I = \int e^x \cdot \sin(3x) \, dx
\]

usamos el **método de integración por partes repetida**, ya que involucra un producto de funciones exponenciales y trigonométricas. 

Recordemos que la fórmula de integración por partes es:

\[
\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du
\]

1. Elegimos \( u = e^x \) y \( dv = \sin(3x) \, dx \).
   
   Entonces, derivamos y integramos:

   \[
   du = e^x \, dx \quad \text{y} \quad v = -\frac{1}{3} \cos(3x)
   \]

   Aplicamos la fórmula:

   \[
   I = e^x \left(-\frac{1}{3} \cos(3x)\right) - \int \left(-\frac{1}{3} \cos(3x)\right) e^x \, dx
   \]

   Simplificando:

   \[
   I = -\frac{1}{3} e^x \cos(3x) + \frac{1}{3} \int e^x \cos(3x) \, dx
   \]

2. Ahora necesitamos resolver la nueva integral:

   \[
   J = \int e^x \cos(3x) \, dx
   \]

   Aplicamos de nuevo integración por partes. Elegimos \( u = e^x \) y \( dv = \cos(3x) \, dx \), por lo que:

   \[
   du = e^x \, dx \quad \text{y} \quad v = \frac{1}{3} \sin(3x)
   \]

   Entonces:

   \[
   J = e^x \left(\frac{1}{3} \sin(3x)\right) - \int \left(\frac{1}{3} \sin(3x)\right) e^x \, dx
   \]

   Lo que nos lleva de nuevo a la integral original \( I \). Por lo tanto, el sistema se vuelve cíclico, y para evitar continuar indefinidamente, resolvemos el sistema de ecuaciones simultáneas:

   Sabemos que:

   \[
   I = -\frac{1}{3} e^x \cos(3x) + \frac{1}{3} J
   \]
   y
   \[
   J = \frac{1}{3} e^x \sin(3x) + \frac{1}{3} I
   \]

   Sustituyendo \( J \) en la primera ecuación:

   \[
   I = -\frac{1}{3} e^x \cos(3x) + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3} e^x \sin(3x) + \frac{1}{3} I \right)
   \]

   Simplificamos:

   \[
   I = -\frac{1}{3} e^x \cos(3x) + \frac{1}{9} e^x \sin(3x) + \frac{1}{9} I
   \]

3. Ahora despejamos \( I \):

   \[
   I - \frac{1}{9} I = -\frac{1}{3} e^x \cos(3x) + \frac{1}{9} e^x \sin(3x)
   \]

   \[
   \frac{8}{9} I = -\frac{1}{3} e^x \cos(3x) + \frac{1}{9} e^x \sin(3x)
   \]

   Multiplicamos ambos lados por \( \frac{9}{8} \):

   \[
   I = \frac{9}{8} \left( -\frac{1}{3} e^x \cos(3x) + \frac{1}{9} e^x \sin(3x) \right)
   \]

   \[
   I = -\frac{3}{8} e^x \cos(3x) + \frac{1}{8} e^x \sin(3x)
   \]

4. Finalmente, la solución es:

\[
I = \frac{e^x}{8} \left( \sin(3x) - 3 \cos(3x) \right) + C
\]

donde \( C \) es la constante de integración.

---

¿Te gustaría una explicación más detallada de algún paso o tienes preguntas? Aquí algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se usa la integración por partes para resolver integrales trigonométricas?
2. ¿Cómo se reconoce cuándo usar integración por partes repetida?
3. ¿Por qué el método de ecuaciones simultáneas es útil para resolver estas integrales?
4. ¿Cómo resolver una integral de \( e^x \) con una función trigonométrica de argumento más complicado?
5. ¿Existen métodos alternativos para resolver esta integral?

**Tip**: Al trabajar con integrales de productos entre funciones exponenciales y trigonométricas, el uso de integración por partes repetida es esencial para capturar la estructura cíclica del problema.

Learn how to solve the integral ∫e^x⋅sin(3x)dx using the method of repeated integration by parts. This detailed step-by-step solution involves applying the integration by parts formula twice, resolving cyclic integrals through simultaneous equations, and deriving the final answer. Suitable for advanced calculus students.

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