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El problema 1 del documento es el siguiente:

Descomponer la fracción en fracciones parciales (Caso 3):

\[
\frac{2x^2 - 7x + 1}{x^3 - x^2 + x - 1}
\]

### Resolución:

Este problema implica descomponer la fracción dada en fracciones parciales. Dado que el denominador es un polinomio cúbico y el numerador es de menor grado que el denominador, podemos proceder con la descomposición. El denominador \(x^3 - x^2 + x - 1\) puede factorizarse, lo cual es el primer paso para encontrar las fracciones parciales.

1. **Factorización del denominador**:
   \[
   x^3 - x^2 + x - 1 = (x - 1)(x^2 + 1)
   \]

2. **Escribir la fracción como suma de fracciones parciales**:
   Ahora que tenemos la factorización, la fracción parcial tiene la siguiente forma:
   \[
   \frac{2x^2 - 7x + 1}{(x - 1)(x^2 + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}
   \]
   donde \(A\), \(B\), y \(C\) son constantes que necesitamos encontrar.

3. **Multiplicar por el denominador común** para eliminar los denominadores:
   \[
   2x^2 - 7x + 1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x - 1)
   \]
   Expandiendo el lado derecho:
   \[
   A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x - 1) = A(x^2 + 1) + Bx(x - 1) + C(x - 1)
   \]
   \[
   = A(x^2 + 1) + Bx^2 - Bx + Cx - C
   \]
   Agrupando los términos semejantes:
   \[
   = (A + B)x^2 + (-B + C)x + (A - C)
   \]

4. **Igualar coeficientes** con el numerador original \(2x^2 - 7x + 1\):
   Comparando los coeficientes de \(x^2\), \(x\), y el término constante:
   - \(A + B = 2\)
   - \(-B + C = -7\)
   - \(A - C = 1\)

5. **Resolver el sistema de ecuaciones**:
   - De \(A + B = 2\), tenemos \(B = 2 - A\).
   - Sustituyendo \(B = 2 - A\) en \(-B + C = -7\), obtenemos:
     \[
     -(2 - A) + C = -7 \implies -2 + A + C = -7 \implies A + C = -5
     \]
   - De \(A - C = 1\) y \(A + C = -5\), sumamos ambas ecuaciones:
     \[
     2A = -4 \implies A = -2
     \]
   - Ahora, sustituimos \(A = -2\) en \(A + C = -5\):
     \[
     -2 + C = -5 \implies C = -3
     \]
   - Finalmente, sustituimos \(A = -2\) en \(B = 2 - A\):
     \[
     B = 2 - (-2) = 4
     \]

6. **Escribir la descomposición**:
   La descomposición en fracciones parciales es:
   \[
   \frac{2x^2 - 7x + 1}{(x - 1)(x^2 + 1)} = \frac{-2}{x - 1} + \frac{4x - 3}{x^2 + 1}
   \]

### Respuesta final:
\[
\frac{2x^2 - 7x + 1}{(x - 1)(x^2 + 1)} = \frac{-2}{x - 1} + \frac{4x - 3}{x^2 + 1}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se factoriza un polinomio cúbico?
2. ¿Cuál es el proceso general para descomponer en fracciones parciales?
3. ¿Qué sucede si el numerador es de mayor grado que el denominador?
4. ¿Cuáles son las aplicaciones de las fracciones parciales en cálculo integral?
5. ¿Cómo se resuelven fracciones parciales con raíces complejas?

### Tip:
Siempre que factorices un polinomio, verifica si hay raíces evidentes como \(x = 1\) o factores cuadráticos irreducibles como \(x^2 + 1\).

This problem involves decomposing the fraction \( \frac{2x^2 - 7x + 1}{x^3 - x^2 + x - 1} \) into partial fractions. Learn how to factor the cubic denominator and solve the system of equations for the constants A, B, and C. Suitable for undergraduate students.

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