Ejercicios de clasificación de funciones Menciona el tipo de función que se presenta a continuación a detalle paso a paso super mega explicado f(x)=1/2 sen(2x)  f(x)=log_3⁡(2x-4)  f(x)=3^x

Vamos a clasificar las funciones que mencionas una por una, y te las explicaré paso a paso de manera detallada.

### Función 1: \( f(x) = \frac{1}{2} \sin(2x) \)
Esta es una **función trigonométrica** porque involucra una de las funciones trigonométricas fundamentales, el **seno** (\(\sin(x)\)). Analicemos paso por paso:

1. **Tipo de función**: Es una función trigonométrica debido al término \(\sin(x)\).
   
2. **Argumento del seno**: El argumento de la función seno es \(2x\), lo que indica que la frecuencia de la función está modificada. La función básica \( \sin(x) \) tiene una frecuencia de \(1\) (un ciclo completo en \(2\pi\)). Al tener \(2x\), la frecuencia se duplica, lo que significa que la función completará un ciclo en \( \pi \), es decir, hay dos ciclos en el mismo intervalo de \(0\) a \(2\pi\).

3. **Coeficiente frente al seno**: El coeficiente \( \frac{1}{2} \) indica que la amplitud de la función está reducida. En lugar de oscilar entre \(-1\) y \(1\), ahora oscilará entre \(-\frac{1}{2}\) y \(\frac{1}{2}\).

   **Conclusión**: Esta es una función trigonométrica de tipo seno con una amplitud de \( \frac{1}{2} \) y una frecuencia de \( 2 \). La forma general de este tipo de funciones es \( f(x) = A \sin(Bx) \), donde \( A \) es la amplitud y \( B \) es el factor de frecuencia.

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### Función 2: \( f(x) = \log_3(2x - 4) \)
Esta es una **función logarítmica**, ya que involucra un logaritmo con base \(3\). Desglosémosla paso por paso:

1. **Tipo de función**: Es una función logarítmica, ya que el logaritmo es una función que nos dice el exponente al que debemos elevar la base (en este caso, \(3\)) para obtener el argumento dentro del logaritmo.

2. **Argumento del logaritmo**: El argumento de la función logarítmica es \(2x - 4\), lo que significa que el logaritmo está evaluando una expresión lineal en \(x\). Esto introduce un desplazamiento horizontal y un factor de escalamiento:
   - \(2x\) indica un estiramiento en el eje \(x\).
   - \( -4 \) indica un desplazamiento de la gráfica 4 unidades hacia la derecha.

3. **Dominio**: Para que esta función esté bien definida, el argumento \(2x - 4\) debe ser mayor que cero, ya que el logaritmo no está definido para valores negativos ni para cero. Así que debemos resolver la desigualdad:
   \[
   2x - 4 > 0 \implies x > 2
   \]
   Esto nos dice que la función solo existe para \(x > 2\).

   **Conclusión**: Esta es una función logarítmica con base \(3\), desplazada 4 unidades hacia la derecha y estirada en el eje \(x\). Su dominio es \(x > 2\).

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### Función 3: \( f(x) = 3^x \)
Esta es una **función exponencial**, ya que involucra una base fija (\(3\)) elevada a una variable (\(x\)). Ahora la explicamos paso a paso:

1. **Tipo de función**: Es una función exponencial de base \(3\). Las funciones exponenciales tienen la forma general \(f(x) = a^x\), donde \(a\) es una constante positiva y \(x\) es la variable.

2. **Crecimiento exponencial**: En esta función, a medida que \(x\) aumenta, la función crece rápidamente. Cuanto mayor es la base, más rápido será el crecimiento. En este caso, con una base \(3\), el crecimiento es moderado en comparación con bases mayores como \(e\) o \(10\), pero aún es muy rápido.

3. **Dominio y rango**:
   - **Dominio**: La función \(3^x\) está definida para todos los valores reales de \(x\), por lo que el dominio es \( (-\infty, \infty) \).
   - **Rango**: Como \(3^x\) siempre es positivo (nunca toma el valor cero ni valores negativos), el rango de esta función es \( (0, \infty) \).

   **Conclusión**: Esta es una función exponencial de base \(3\), que crece rápidamente a medida que \(x\) aumenta, con dominio en todos los números reales y rango positivo.

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### Resumen de Clasificación:

1. \( f(x) = \frac{1}{2} \sin(2x) \): **Función trigonométrica** (seno).
2. \( f(x) = \log_3(2x - 4) \): **Función logarítmica** (base \(3\)).
3. \( f(x) = 3^x \): **Función exponencial** (base \(3\)).

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda?

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determinan los puntos de intersección con el eje \(x\) en funciones trigonométricas?
2. ¿Cómo se transforma el gráfico de una función trigonométrica con amplitud y frecuencia modificadas?
3. ¿Qué otras propiedades tiene una función logarítmica como el crecimiento o concavidad?
4. ¿Cómo se transforma una función logarítmica cuando se modifica su base?
5. ¿Qué aplicaciones tienen las funciones exponenciales en fenómenos de la vida real?

### Tip:
Recuerda que las funciones logarítmicas y exponenciales son inversas entre sí.

Detailed step-by-step classification of functions including f(x) = 1/2 sin(2x), f(x) = log_3(2x - 4), and f(x) = 3^x. Learn how to classify trigonometric, logarithmic, and exponential functions, with key concepts explained. Suitable for Grades 10-12.

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