Sean los conjuntos: 𝐴 = {𝑎 ∈ ℤ 𝑎^5⁄ + 4𝑎 = 5𝑎^3} y 𝐵 = {𝑎 ∈ 𝐴/∃b ∈ ℤ ∧ 𝑎 = 𝑏^2}. Calcule el cardinal del conjunto potencia de 𝐴 – B. 

Vamos a desglosar el problema paso a paso.

### 1. Resolver la ecuación del conjunto \( A \):
El conjunto \( A \) está dado por la siguiente condición:
\[
A = \{ a \in \mathbb{Z} \ | \ a^5 + 4a = 5a^3 \}.
\]
Primero, simplificamos la ecuación:
\[
a^5 + 4a = 5a^3.
\]
Reorganizamos todo en un solo lado de la ecuación:
\[
a^5 - 5a^3 + 4a = 0.
\]
Factorizamos la ecuación:
\[
a(a^4 - 5a^2 + 4) = 0.
\]
De esto, obtenemos dos factores:
1. \( a = 0 \)
2. \( a^4 - 5a^2 + 4 = 0 \).

### 2. Resolver \( a^4 - 5a^2 + 4 = 0 \):
Ahora tratamos esta ecuación como una cuadrática en términos de \( a^2 \). Definimos \( x = a^2 \), lo que nos da:
\[
x^2 - 5x + 4 = 0.
\]
Resolviendo esta ecuación cuadrática con la fórmula general:
\[
x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}.
\]
Esto nos da dos soluciones:
\[
x_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \quad \text{y} \quad x_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1.
\]

### 3. Volver a \( a^2 \):
Recuerde que \( x = a^2 \), por lo tanto:
1. \( a^2 = 4 \) implica \( a = 2 \) o \( a = -2 \),
2. \( a^2 = 1 \) implica \( a = 1 \) o \( a = -1 \).

Por lo tanto, las soluciones para \( a \) son \( a = 0, 1, -1, 2, -2 \).

Esto nos da el conjunto \( A \):
\[
A = \{ 0, 1, -1, 2, -2 \}.
\]

### 4. Definir el conjunto \( B \):
El conjunto \( B \) está definido como:
\[
B = \{ a \in A \ | \ \exists b \in \mathbb{Z} \land a = b^2 \}.
\]
Esto significa que \( B \) contiene los elementos de \( A \) que son cuadrados perfectos. Los cuadrados perfectos entre \( A \) son:
\[
0 = 0^2, \quad 1 = 1^2, \quad 4 = 2^2.
\]
Por lo tanto, \( B = \{ 0, 1, 4 \} \), pero como en \( A \) no está el \( 4 \), solo tomamos los valores \( a = 0, 1 \), lo que nos da:
\[
B = \{ 0, 1 \}.
\]

### 5. Calcular el cardinal del conjunto potencia \( A - B \):
Ahora queremos calcular el cardinal del conjunto potencia de \( A - B \), es decir, el conjunto de los elementos en \( A \) que no están en \( B \):
\[
A - B = \{ -1, 2, -2 \}.
\]
El conjunto potencia de \( A - B \) está formado por todos los subconjuntos posibles de \( A - B \). Si \( A - B \) tiene 3 elementos, el número de subconjuntos es:
\[
2^n, \quad \text{donde} \ n = 3.
\]
Por lo tanto, el cardinal del conjunto potencia de \( A - B \) es:
\[
2^3 = 8.
\]

### Respuesta final:
El cardinal del conjunto potencia de \( A - B \) es \( \boxed{8} \).

---

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se obtiene la factorización de polinomios de mayor grado?
2. ¿Cómo se aplica la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas?
3. ¿Qué otros métodos existen para factorizar polinomios?
4. ¿Cómo se determina el número de subconjuntos de un conjunto?
5. ¿Qué son los conjuntos potencia y cómo se construyen?

**Tip**: Siempre es útil verificar si los factores de una ecuación factorizada son polinomios que pueden simplificarse aún más.

Sean los conjuntos: 𝐴 = {𝑎 ∈ ℤ 𝑎^5⁄ + 4𝑎 = 5𝑎^3} y 𝐵 = {𝑎 ∈ 𝐴/∃b ∈ ℤ ∧ 𝑎 = 𝑏^2}. Calcule el cardinal del conjunto potencia de 𝐴 – B.

Solve the polynomial equation a^5 + 4a = 5a^3 to find the set A, and then find the set B with perfect squares. Calculate the cardinality of the power set of A - B. This detailed step-by-step solution covers algebra, polynomial factorization, and set theory concepts, ideal for students in Grades 10-12.

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