Aproxime la solución del sistema de ecuaciones NO lineales con el uso del método de Punto Fijo Multivariable. Despeja de la primera ecuación la variable x1 con el término cuadrático, despeja de la segunda ecuación x2 con el término cuadrático. Usa el vector inicial (0.7, 0.4). Realiza desplazamientos sucesivos. 
x1 ^2 + x2^2 − x1 = 0 
x1^2 − x2 ^2 − x2 = 0 
a) Determine además si se cumple el criterio de convergencia. De no cumplirlo realice de todas formas el proceso iterativo. Escribe las derivadas parciales, con sus respectivas evaluaciones y organiza los resultados en una tabla, dame el resultado de cada iteración

El **Método de Punto Fijo Multivariable** se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones no lineales al reescribir el sistema en la forma de un sistema de funciones \( \mathbf{g}(x_1, x_2) \) tal que:

\[
\mathbf{x} = \mathbf{g}(x_1, x_2)
\]

### Paso 1: Despeje de \( x_1 \) y \( x_2 \)
Dado el sistema de ecuaciones:

\[
x_1^2 + x_2^2 - x_1 = 0
\]
\[
x_1^2 - x_2^2 - x_2 = 0
\]

**Despeje de \( x_1 \) en función de \( x_2 \) (de la primera ecuación):**
\[
x_1^2 + x_2^2 = x_1
\]
\[
x_1^2 = x_1 - x_2^2
\]
Finalmente, despejamos \( x_1 \):
\[
x_1 = \sqrt{x_1 - x_2^2}
\]

**Despeje de \( x_2 \) en función de \( x_1 \) (de la segunda ecuación):**
\[
x_1^2 = x_2^2 + x_2
\]
\[
x_2^2 + x_2 = x_1^2
\]
Despejamos \( x_2 \) usando la fórmula cuadrática:

\[
x_2 = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4x_1^2}}{2}
\]

### Paso 2: Definición del sistema \( g_1(x_1, x_2) \) y \( g_2(x_1, x_2) \)

El sistema de funciones de punto fijo es:

\[
g_1(x_1, x_2) = \sqrt{x_1 - x_2^2}
\]
\[
g_2(x_1, x_2) = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4x_1^2}}{2}
\]

### Paso 3: Criterio de convergencia (norma de la derivada)

Para verificar el criterio de convergencia del método de punto fijo multivariable, debemos calcular el **Jacobian** del sistema \( \mathbf{g}(x_1, x_2) \) y evaluar su norma en el punto inicial \( (0.7, 0.4) \).

El Jacobiano se define como la matriz de derivadas parciales de las funciones \( g_1 \) y \( g_2 \) respecto a \( x_1 \) y \( x_2 \):

\[
J(\mathbf{g}) = \begin{pmatrix} 
\frac{\partial g_1}{\partial x_1} & \frac{\partial g_1}{\partial x_2} \\ 
\frac{\partial g_2}{\partial x_1} & \frac{\partial g_2}{\partial x_2}
\end{pmatrix}
\]

1. Derivadas parciales de \( g_1(x_1, x_2) = \sqrt{x_1 - x_2^2} \):
   \[
   \frac{\partial g_1}{\partial x_1} = \frac{1}{2\sqrt{x_1 - x_2^2}}
   \]
   \[
   \frac{\partial g_1}{\partial x_2} = \frac{-x_2}{\sqrt{x_1 - x_2^2}}
   \]

2. Derivadas parciales de \( g_2(x_1, x_2) = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4x_1^2}}{2} \):
   \[
   \frac{\partial g_2}{\partial x_1} = \frac{4x_1}{\sqrt{1 + 4x_1^2}}
   \]
   \[
   \frac{\partial g_2}{\partial x_2} = 0
   \]

Evaluamos estas derivadas en el punto inicial \( (0.7, 0.4) \):

- Para \( g_1 \):
  \[
  \frac{\partial g_1}{\partial x_1} \bigg|_{(0.7, 0.4)} = \frac{1}{2\sqrt{0.7 - 0.4^2}} = \frac{1}{2\sqrt{0.7 - 0.16}} = \frac{1}{2\sqrt{0.54}} \approx 0.6804
  \]
  \[
  \frac{\partial g_1}{\partial x_2} \bigg|_{(0.7, 0.4)} = \frac{-0.4}{\sqrt{0.7 - 0.16}} = \frac{-0.4}{\sqrt{0.54}} \approx -0.5433
  \]

- Para \( g_2 \):
  \[
  \frac{\partial g_2}{\partial x_1} \bigg|_{(0.7, 0.4)} = \frac{4(0.7)}{\sqrt{1 + 4(0.7)^2}} = \frac{2.8}{\sqrt{1 + 1.96}} = \frac{2.8}{\sqrt{2.96}} \approx 1.6266
  \]
  \[
  \frac{\partial g_2}{\partial x_2} \bigg|_{(0.7, 0.4)} = 0
  \]

Por lo tanto, el Jacobiano evaluado en \( (0.7, 0.4) \) es:

\[
J(\mathbf{g})(0.7, 0.4) \approx \begin{pmatrix} 0.6804 & -0.5433 \\ 1.6266 & 0 \end{pmatrix}
\]

La **norma** del Jacobiano es la mayor suma de las normas de las filas:

\[
||J(\mathbf{g})(0.7, 0.4)|| \approx \max \left( \sqrt{0.6804^2 + (-0.5433)^2}, \sqrt{1.6266^2} \right)
\]
\[
\approx \max(0.8676, 1.6266) = 1.6266
\]

Como \( ||J(\mathbf{g})(0.7, 0.4)|| > 1 \), el sistema **no cumple el criterio de convergencia**, pero de todas maneras realizaremos el proceso iterativo.

### Paso 4: Iteraciones con desplazamientos sucesivos

Usaremos el vector inicial \( (0.7, 0.4) \) y aplicaremos iteraciones sucesivas utilizando las funciones \( g_1 \) y \( g_2 \).

\[
x_1^{(k+1)} = g_1(x_1^{(k)}, x_2^{(k)})
\]
\[
x_2^{(k+1)} = g_2(x_1^{(k)}, x_2^{(k)})
\]

Procedamos a realizar las iteraciones:

#### Iteración 1:
\[
x_1^{(1)} = \sqrt{0.7 - (0.4)^2} \approx 0.7348
\]
\[
x_2^{(1)} = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4(0.7)^2}}{2} \approx 0.6266
\]

#### Iteración 2:
\[
x_1^{(2)} = \sqrt{0.7348 - (0.6266)^2} \approx 0.6528
\]
\[
x_2^{(2)} = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4(0.7348)^2}}{2} \approx 0.6394
\]

#### Iteración 3:
\[
x_1^{(3)} = \sqrt{0.6528 - (0.6394)^2} \approx 0.5316
\]
\[
x_2^{(3)} = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4(0.6528)^2}}{2} \approx 0.4828
\]

### Resumen de las iteraciones:

| Iteración | \( x_1 \) | \( x_2 \) |
|-----------|-----------|-----------|
| 0         | 0.7000    | 0.4000    |
| 1         | 0.7348    | 0.6266    |
| 2         | 0.6528    | 0.6394    |
| 3         | 0.5316    | 0.4828    |

### Conclusión

El sistema no cumple el criterio de convergencia debido a que la norma del Jacobiano en el punto inicial es mayor que 1. Sin embargo, el proceso iterativo muestra cómo las soluciones varían con cada iteración.

---

¿Quieres continuar con más iteraciones o

Aproxime la solución del sistema de ecuaciones NO lineales con el uso del método de Punto Fijo Multivariable. Despeja de la primera ecuación la variable x1 con el término cuadrático, despeja de la segunda ecuación x2 con el término cuadrático. Usa el vector inicial (0.7, 0.4). Realiza desplazamientos sucesivos.
x1 ^2 + x2^2 − x1 = 0 
x1^2 − x2 ^2 − x2 = 0 
a) Determine además si se cumple el criterio de convergencia. De no cumplirlo realice de todas formas el proceso iterativo. Escribe las derivadas parciales, con sus respectivas evaluaciones y organiza los resultados en una tabla, dame el resultado de cada iteración

Approximate the solution of a non-linear system of equations using the Fixed-Point Iteration Method. Explore step-by-step how to manipulate equations, perform iterative shifts, calculate partial derivatives, and check convergence using the Jacobian matrix. Includes worked examples and iteration results.

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