Usar la aproximación lineal (ecuación del plano tangente) para aproximar las siguientes cantidades (0,99)3 + (2,01)3 − 6(0,99)(2,01)

Para aproximar la expresión \((0,99)^3 + (2,01)^3 - 6(0,99)(2,01)\) usando la aproximación lineal, aplicaremos la **ecuación del plano tangente** a una función de dos variables en un punto cercano al que queremos evaluar la función.

### Paso 1: Definir la función

Consideramos la siguiente función de dos variables:

\[
f(x, y) = x^3 + y^3 - 6xy
\]

Queremos aproximar \( f(0.99, 2.01) \), y lo haremos usando la aproximación lineal en torno al punto \( (x_0, y_0) = (1, 2) \), que es cercano a \( (0.99, 2.01) \).

### Paso 2: Derivadas parciales

Para construir el plano tangente, necesitamos las derivadas parciales de \( f(x, y) \) con respecto a \(x\) y \(y\), evaluadas en \( (1, 2) \).

1. **Derivada parcial con respecto a \(x\)**:
   \[
   \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 6y
   \]
   Evaluamos en \( (1, 2) \):
   \[
   \frac{\partial f}{\partial x}(1, 2) = 3(1)^2 - 6(2) = 3 - 12 = -9
   \]

2. **Derivada parcial con respecto a \(y\)**:
   \[
   \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 6x
   \]
   Evaluamos en \( (1, 2) \):
   \[
   \frac{\partial f}{\partial y}(1, 2) = 3(2)^2 - 6(1) = 12 - 6 = 6
   \]

### Paso 3: Valor de \(f(x, y)\) en el punto \( (1, 2)\)

Calculamos el valor de \( f(1, 2) \):

\[
f(1, 2) = 1^3 + 2^3 - 6(1)(2) = 1 + 8 - 12 = -3
\]

### Paso 4: Ecuación del plano tangente

La ecuación del plano tangente o aproximación lineal de \( f(x, y) \) en \( (1, 2) \) es:

\[
L(x, y) = f(1, 2) + \frac{\partial f}{\partial x}(1, 2)(x - 1) + \frac{\partial f}{\partial y}(1, 2)(y - 2)
\]

Sustituyendo los valores que obtuvimos:

\[
L(x, y) = -3 - 9(x - 1) + 6(y - 2)
\]

Simplificamos:

\[
L(x, y) = -3 - 9x + 9 + 6y - 12 = -6 - 9x + 6y
\]

### Paso 5: Aproximación en \( (0,99, 2,01) \)

Sustituimos \( x = 0.99 \) y \( y = 2.01 \) en la ecuación del plano tangente:

\[
L(0.99, 2.01) = -6 - 9(0.99) + 6(2.01)
\]
\[
L(0.99, 2.01) = -6 - 8.91 + 12.06 = -14.91 + 12.06 = -2.85
\]

### Resultado final:

La aproximación lineal de \((0,99)^3 + (2,01)^3 - 6(0,99)(2,01)\) es aproximadamente **-2.85**.

---

¿Te gustaría más detalles o alguna pregunta sobre el procedimiento?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué es la ecuación del plano tangente?
2. ¿Por qué es útil la aproximación lineal en matemáticas?
3. ¿Cómo se calculan las derivadas parciales de una función de varias variables?
4. ¿Cómo se usa la aproximación lineal en física o ingeniería?
5. ¿Qué otros métodos existen para aproximar funciones no lineales?

**Tip**: La aproximación lineal es muy efectiva cuando trabajas con funciones suaves y puntos cercanos al valor de referencia, especialmente cuando la función es difícil de calcular directamente.

Usar la aproximación lineal (ecuación del plano tangente) para aproximar las siguientes cantidades (0,99)^3 + (2,01)^3 − 6(0,99)(2,01)

Descubre cómo usar la aproximación lineal y la ecuación del plano tangente para aproximar la expresión (0,99)^3 + (2,01)^3 − 6(0,99)(2,01). Este problema incluye cálculo de derivadas parciales y la construcción del plano tangente para funciones de varias variables. Ideal para estudiantes de cálculo multivariable.

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