 Si la población de A personas crece con cierta tasa constante de r por ciento anual, a los t años formará una
progresión geométrica con la razón constante (1+r). Escriba la fórmula para calcular la población total, a los t
años. Si la población del mundo está incrementándose a la tasa de 2 % anual, ¿cuánto tiempo tardará en
duplicarse?


Para calcular la población total después de \( t \) años con una tasa de crecimiento constante, podemos utilizar la fórmula de una progresión geométrica. La fórmula general para la población \( P(t) \) después de \( t \) años es:

\[
P(t) = A \cdot (1 + r)^t
\]

donde:
- \( A \) es la población inicial.
- \( r \) es la tasa de crecimiento anual (expresada como un decimal, por ejemplo, \( 2\% \) sería \( 0.02 \)).
- \( t \) es el número de años.

### Cálculo del Tiempo para Duplicar la Población

Queremos encontrar el tiempo \( t \) necesario para que la población se duplique, es decir, cuando \( P(t) = 2A \).

Sustituyendo en la fórmula:

\[
2A = A \cdot (1 + r)^t
\]

Dividimos ambos lados por \( A \):

\[
2 = (1 + r)^t
\]

Tomamos el logaritmo natural en ambos lados para despejar \( t \):

\[
\ln(2) = t \cdot \ln(1 + r)
\]

Despejando \( t \):

\[
t = \frac{\ln(2)}{\ln(1 + r)}
\]

Dado que la tasa de crecimiento anual es \( r = 2\% = 0.02 \), sustituimos el valor en la fórmula:

\[
t = \frac{\ln(2)}{\ln(1 + 0.02)}
\]

Calcularemos el valor de \( t \).

### Cálculo Numérico

Vamos a calcular este valor.El tiempo necesario para que la población se duplique con una tasa de crecimiento anual del 2 % es aproximadamente **35 años**.

¿Te gustaría saber más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo afecta una tasa de crecimiento diferente al tiempo necesario para duplicar la población?
2. ¿Qué pasaría si la tasa de crecimiento fuera negativa? ¿Cómo calcularíamos la población en ese caso?
3. ¿Cómo podemos aplicar esta fórmula a otros contextos, como inversiones o depreciación de activos?
4. ¿Qué diferencias hay entre una tasa de crecimiento anual compuesta y una tasa de crecimiento simple?
5. ¿Cómo cambiaría el tiempo de duplicación si se calculara el crecimiento mensual en lugar de anual?

#### Tip:
Para entender mejor las tasas de crecimiento, observa cómo pequeñas variaciones en la tasa pueden tener un gran impacto en el tiempo de duplicación.

Descubre cómo calcular la población total después de t años con una tasa de crecimiento constante y aprende cuánto tiempo tardará en duplicarse con una tasa de crecimiento anual del 2%. Incluye una explicación detallada y ejemplos prácticos.

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