Bestimme, wie viele Besucher man wenigstens kontrollieren müsste, um mit mindestens 95%-iger Wahrscheinlichkeit unter den 15 kontrollierten mindestens eine Frau zu finden

Um diese Aufgabe zu lösen, kann man das Problem als eine Anwendung der Binomialverteilung betrachten, speziell das Gegenereignis: dass man unter den 15 kontrollierten Besuchern keine einzige Frau findet. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Besucher keine Frau ist, sei \( p_m \). Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass von 15 Besuchern alle männlich sind, und setzen dies kleiner gleich 5% (0,05):

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Besucher keine Frau ist, ist \( p_m = 1 - p_f \), wobei \( p_f \) die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Besucher eine Frau ist.

2. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 15 kontrollierten Besucher keine Frau sind, ist \( p_m^{15} \).

3. Wir möchten, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle kontrollierten Besucher keine Frau sind, höchstens 5% beträgt:
\[
p_m^{15} \leq 0,05
\]

4. Um diese Ungleichung zu lösen, nehmen wir den natürlichen Logarithmus (ln) auf beiden Seiten:
\[
15 \cdot \ln(p_m) \leq \ln(0,05)
\]

5. Teilen durch 15:
\[
\ln(p_m) \leq \frac{\ln(0,05)}{15}
\]

6. Exponentieren:
\[
p_m \leq e^{\frac{\ln(0,05)}{15}}
\]

7. Schließlich ist \( p_f \geq 1 - e^{\frac{\ln(0,05)}{15}} \).

Nun setzen wir den Wert ein und berechnen \( p_f \):

\[
p_f \geq 1 - e^{\frac{\ln(0,05)}{15}} \approx 1 - e^{\frac{-2,9957}{15}} \approx 1 - e^{-0,1997} \approx 1 - 0,819 \approx 0,181
\]

Somit muss die Wahrscheinlichkeit, dass ein Besucher eine Frau ist, mindestens 18,1% betragen. Daraus kann man den Anteil der Besucher berechnen, den man mindestens kontrollieren muss, um sicherzustellen, dass mit mindestens 95%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens eine Frau unter den kontrollierten Personen ist.

**Zusammenfassung**: Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau kontrolliert wird, bei mindestens 18,1% liegt, dann reicht es, 15 Besucher zu kontrollieren, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% mindestens eine Frau darunter zu haben.

Möchtest du eine detaillierte Erklärung oder hast du Fragen zu den Berechnungen? 

Hier sind 8 relative Fragen:

1. Wie beeinflusst eine höhere Wahrscheinlichkeit \( p_f \) das Ergebnis?
2. Was passiert, wenn man 20 statt 15 Besucher kontrolliert?
3. Wie würde sich das Ergebnis ändern, wenn man eine höhere Sicherheit (z. B. 99%) anstrebt?
4. Kann man dieses Problem auch mit der Normalverteilung annähern?
5. Wie könnte man die Anzahl der zu kontrollierenden Besucher minimieren, wenn \( p_f \) variiert?
6. Wie ändert sich das Ergebnis, wenn man weiß, dass 60% der Besucher Frauen sind?
7. Wie wird die Wahrscheinlichkeit \( p_f \) in der Praxis bestimmt?
8. Welche Annahmen liegen dieser Berechnung zugrunde?

**Tipp:** Es ist oft hilfreich, solche Wahrscheinlichkeitsprobleme durch das Gegenereignis zu analysieren, um die Berechnungen zu vereinfachen.

Learn how to calculate the minimum number of visitors needed to ensure at least a 95% probability of finding at least one woman among 15 visitors. This problem uses probability theory, binomial distribution, logarithms, and exponential functions.

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