detallar como calculaste el valor de k, la inversa de la matriz A y el determinante de A

Claro, te detallo los pasos que seguí para calcular el valor de \( k \), la inversa de la matriz \( A \), y el determinante de \( A \).

### 1. Cálculo del valor de \( k \)
Dado que la ecuación a resolver es:

\[
\left|\frac{1}{3} \cdot (A^3)^t\right| = -1
\]

Primero necesitamos calcular \( A^3 \) (la matriz \( A \) multiplicada por sí misma tres veces), luego tomar su traspuesta, multiplicar por \( \frac{1}{3} \), y finalmente encontrar el determinante de la matriz resultante.

#### Pasos:
1. **Calcular \( A^3 \)**:
   \[
   A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & k \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}
   \]
   Se multiplica \( A \cdot A \cdot A \) para obtener \( A^3 \).

2. **Trasponer \( A^3 \)**:
   Luego, se toma la traspuesta de \( A^3 \).

3. **Multiplicar por \( \frac{1}{3} \)**:
   Se multiplica la matriz traspuesta por \( \frac{1}{3} \).

4. **Calcular el determinante**:
   Se calcula el determinante de la matriz obtenida y se iguala a \(-1\):
   \[
   \text{Determinante} = -1
   \]
   Resolviendo esta ecuación para \( k \), obtenemos tres soluciones: \( k = -2 \), \( k = -0.5 - 0.866i \) y \( k = -0.5 + 0.866i \). Optamos por el valor real \( k = -2 \).

### 2. Cálculo de la inversa de la matriz \( A \) para \( k = -2 \)

Dado que \( A \) es una matriz \( 3 \times 3 \), su inversa \( A^{-1} \) se calcula mediante la fórmula:

\[
A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{Adj}(A)
\]

donde \( \text{Adj}(A) \) es la adjunta de \( A \).

#### Pasos:
1. **Calcular \( |A| \)**: 
   Con \( k = -2 \), \( A \) es:
   \[
   A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & -2 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}
   \]
   El determinante de \( A \) se calcula usando la regla de Sarrus o cofactores:
   \[
   |A| = 1 \cdot (3 \cdot 2 - (-2) \cdot (-1)) - 2 \cdot (2 \cdot 2 - (-2) \cdot 1) + (-1) \cdot (2 \cdot (-1) - 3 \cdot 1)
   \]
   Esto da \( |A| = -3 \).

2. **Calcular la adjunta \( \text{Adj}(A) \)**:
   Se calcula la matriz de cofactores y luego se toma la traspuesta.

3. **Dividir por \( |A| \)**:
   Multiplicamos la adjunta por \( \frac{1}{|A|} = \frac{1}{-3} \) para obtener \( A^{-1} \).

### 3. Verificación del determinante de \( A^{-1} \)

El determinante de \( A^{-1} \) se obtiene directamente como \( |A^{-1}| \), y debe ser igual a \( \frac{1}{|A|} \):

\[
|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}
\]

Este cálculo se realizó y se verificó que \( |A^{-1}| = -\frac{1}{3} \), coincidiendo con el valor esperado de \( \frac{1}{|A|} \).

### Resumen de los resultados

- \( k = -2 \) es el valor real que satisface la ecuación inicial.
- \( |A| = -3 \).
- La inversa \( A^{-1} \) fue calculada, y su determinante es \( -\frac{1}{3} \).
- La relación \( |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \) se cumple.

### ¿Tienes alguna otra pregunta o te gustaría más detalles sobre alguno de estos pasos?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula la adjunta de una matriz?
2. ¿Qué implica un determinante negativo?
3. ¿Qué son los valores propios y cómo se relacionan con la matriz inversa?
4. ¿Por qué es importante que el determinante de una matriz no sea cero?
5. ¿Cómo afecta el valor de \( k \) en la estabilidad de la matriz \( A \)?

**Tip:** El cálculo manual de la inversa de matrices \( 3 \times 3 \) puede ser tedioso, por lo que se recomienda el uso de software de álgebra simbólica para evitar errores.

Learn how to calculate the value of k, the inverse of matrix A, and the determinant of A step-by-step. This problem involves matrix operations, including determinant calculations and matrix inversion. Suitable for university-level students and professionals.

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